一元二次不等式及其解法
同学们在初中学习过一元一次不等式的解法,你能说出一元一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的关系吗? 能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
一元一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的关系
回顾知识
问题：某同学想上网查资料，现有两家网吧可供选择。A网吧每小时收费1.5元（不足1小时的按1小时计算）; B网吧的收费原则为，在用户上网的第1个小时内（含恰好1个小时）收费1.7元，第2个小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（每天上网最多17小时）.
新课导入
分析：一般来说，一次上网的时间不会超过17小时.所以，不妨设一次上网的时间总小于17小时.那么，一次上网在多长时间以内，去A网吧合算？
问：设该同学上网时间为x小时，
(1)若该同学去A网吧，试写出所需费用的表达式？
(2)若该同学去B网吧，试写出所需费用的表达式？
(3)一次上网在多长时间以内，去A网吧合算？
解：
一次上网的时间为x小时，则网吧A收取的费用为1.5x(元)
网吧B收取的费用为
x（35-x）/20(元)
若要能够保证选择网吧A比网吧B所需费用少，则
x（35-x）/20> 1.5x(0经整理得
这是一个关于x的一元二次不等式.只要求的满足此不等式的解集，就得到了答案.
一元二次不等式的定义：
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的不等式称为一元二次不等式.
什么是一元二次不等式？
3.2一元二次不等式及其解法
我们已经知道导入中的问题已经归结为求一个一元二次不等式解的问题，那么怎样求得下面式子的解集呢？
我们先来考察它与二次函数
与
的关系.
二次方程的有两个实数根：
二次函数也正有两个零点 ：
容易知道：
观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,
当0所以，不等式的解集是，
即
即
我们已经知道了具体一元二次方程的解法，能不能由此推出一般一元二次不等式的解法？
一元二次方程的一般形式是什么？
根据上面的具体问题，我们可以得到，确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
我们是怎样确定一元二次方程
的根的呢？
通过以前的知识，我们知道：
的根与他的判别式有很大关系.
即为
它的判别式，当
时，有两个不同的实根；
当
时，没有实根;
同时我们知道，a<0可以转化为a>0，从而只要考虑a>0的情况即可.
从而结合一元二次函数
的图像，
与x轴的相关位置分三种情况：
通过以上分析，我们就可以分三种情况来讨论对应的一元二次不等式
的解集了.
解分别为：
，
及
根据上述方法，请将下表填充完整.

(a>0)的图像
有两相异实根
有两相等实根
的解集
的解集

解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”
（1）转化为不等式的“标准”形式;
（2）算△,解相应一元二次方程的根；
（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，
写出不等式的解集.
例：1
解不等式
解：因为△>0,方程
的解是
x1 =-1/2 ，x2 =2
所以，不等式的解集是
{x |x1<-1/2，或 x2 >2}
例：2
解不等式
解：整理，得
因为△<0，方程
无实数解，
所以不等式
的解集是φ.
从而，原不等式的解集是φ.
例：3
解不等式
解：因为△=0,方程
的解是
x1 = x2=1/2
所以，不等式的解集是
{x |x ≠ 1/2}.
例：4
一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为方程有两个实数根 x1=50,x2=60
由二次函数的图象，得不等式的解为：
50又因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益 .
课堂小结
1、解一元二次不等式的步骤：
(1) 将二次项系数化为 正号；
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ. △ >0时，求根x1A>0,x>x1或xA<0,x1ⅱ. △ =0时，求根x1＝x2，
A>0,x≠x1
A<0, φ
A=0,x=x1
ⅲ. △ <0时，方程无解，
A>0,R
A≤0, φ
（3） 写出解集.
2、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.
(1)二次方程的根是函数的零点，即二次函数图象与x轴交点的横坐标;
(2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次不等式的解.
3、数学思想的体现
数形结合的思想及化归思想.
(2006 上海）x是什么实数时，函数
（1）等于0？（2）是正数？ （3）是负数？
y=0，y>0，及y<0时，求x取值.
高考链接
(2)因为
的解集为
所以，
的解集为
课堂练习
1、解下列不等式：
解：由题
对应的△=49-24=25>0
其解为x1=1/3，x2=2
的解集为{x |1/3解：将原不等式变形为：
对应的△=1+48>0
其解 x1=-2/3，x2=1/2；
{x |x≤-2/3或x≥1/2}.
的解集为
解：由题
对应的△=16-16=0；
则方程
的解为x1=x2=1/2
∴原不等式的解集为φ.
解：由题
对应的△=9-20<0
故
无实数解
∴原不等式的解集为R.
2、x是什么实数时，
有意义？
分析：要使式子有意义，则需
故问题相当于解这个不等式.
解：由题
对应△=1+48>0，
其解集{x |x=-4或x=3}，
故
的解集为
{x |x ≤ -4或x ≥ 3}.
3、计算下列各题.
(3){x︳-1≤x≤4且x≠0};
习题答案
时y<0;
时y>0，
(2){-5,5},{-55或x<-5};
(3) φ, φ, R;
(4){2},{x≠2}, φ.
当
当