一元二次不等式及其解法
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的
二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不
等式，会设计求解的程序框图．
考察下面含未知数x的不等式15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0.
这两个不等式有两个共同特点：
（1）含有一个未知数x；
（2）未知数的最高次数为2.
一般地，含有一个未知数，且未知数的最高
次数为2的整式不等式，
叫做一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，
恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
即 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，
就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时
自变量x的取值的集合。
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，
就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，
一元二次不等式之间有非常密切的联系。
设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，(x1(1)当a>0时，f(x)≥0的解集是什么？
f(x)≤0的解集是什么？
(2)当a<0时，f(x)≥0的解集是什么？
f(x)≤0的解集是什么？
例1．解不等式：（1）x2－2x+3>0；
（2）x2－2x+3<0.
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为实数集R，
不等式（2）无解，或说它的解集为空集.
通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)解集的形式作一般性的分析。
设方程ax2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△。
（1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等
的实数根x1，x2，（设x1考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象，
这时，函数的零点把x轴分成三个区间
(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)，
不等式ax2+bx+c>0的解集是(－∞，x1)∪ (x2，+∞)，不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2).
简单的说是：
大于在两边，小于在中间。
（2）当△=0时，通过配方得，
由图可知，ax2+bx+c>0的解集是 的全体实数，即
ax2+bx+c<0的解集是空集，即不等式无解。
（3）当△<0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的
图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c>0
的解集是实数集R，
不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。
例2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
所以不等式的解集是
例3．解不等式x2+4x+4>0.
解：因为△=42－4×1×4=0，
原不等式化为(x+2)2>0，
所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
例4．解不等式－2x2+4x－3>0.
解：原不等式化为2x2－4x+3<0，
因为2x2－4x+3=2(x－1)2+1>0，
所以原不等式的解集是
解：由函数f(x)的解析式有意义得
即
解得
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
1.解下列不等式：
(1)－x2＋5x－6＞0；
(2)3x2＋5x－2＞0；
(3)3x2＋5x－2≤0；
(4)9x2－6x＋1＞0；
(5)x2－4x＋5＞0.
R
解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
【思路点拨】　先求出二次方程的两根，但两根的大小不确定，因此要分类讨论，才能确定解集．
对系数中含有参数的一元二次不等式的求解，
一般需从三个方面考虑分类讨论：
(1)当二次项系数的符号不确定时，
按二次项系数的正、负分类，以确定
不等式解集形式(是在两根间，还是在两根外)；
(2)当判别式Δ不确定时要按Δ>0，Δ＝0，
Δ<0进行分类，以确定二次方程的根的个数；
(3)当方程的两根大小不确定时，
应按x1x2进行分类，
得出不同的解集．
2.若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，
求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集．
解下列不等式：
(1)(x2－1)(x2－4)≤0；
(2)(x2＋3x＋2)(x2－2x－3)≥0；
(3)(x2－x＋1)(x2－x－6)(x－4)＞0.
【思路点拨】　将每个不等式的
左边在实数范围内因式分解，
再把根标在数轴上，画波浪线．
在一元高次不等式的求解过程中，
应保持各因式中x的系数为正，
否则会改变不等号的方向．
3.解下列不等式：
(1)(x＋1)(1－x)(x－2)＞0；
(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
【解析】　(1)原不等式等价于(x－1)(x－2)(x＋1)＜0.
各因式的根分别为1、2、－1，不等式解集为(－∞，－1)∪(1,2)．
(2)如图所示．各因式的根分别为0、1、－1、－2，其中1为双重根，－1为3重根(1为偶次根，－1为奇次根)，不等式的解集为[－2，－1]∪[0，＋∞)．
当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解是全体实数？
一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系．
(1)从函数观点看(以二次项系数a＞0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的值满足y＞0时自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．
(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c＞0恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式Δ即可，而不必利用最值转化的思路求解．
①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论．
②利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值．
③对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．
④用不等式性质对不等式变形时，必须具备的变形条件．
⑤若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ＞0，Δ＝0，
Δ＜0三种情况进行讨论．
【错因】　2x＋1的符号不能确定，同时约去不等号方向可能改变．另外，不等式两边取倒数，改变不符号方向也不一定是同解变形．
1．下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤15；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中一定是一元二次不等式的个数为(　　)
A．5　　　 B．4
C．3 D．2
【答案】　D
【答案】　A
3．函数y＝x2＋4x－5的判别式Δ________0，该图象与x轴有________个交点，其交点横坐标为________，不等式x2＋4x－5＞0的解集是________，不等式x2＋4x－5＜0的解集是________．
【答案】　＞　两　－5　1　(－∞，5)∪(1，＋∞)　(－5,1)