2．2.3　向量数乘运算及其几何意义
第二章　 平面向量
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1．向量的数乘运算
(1)向量的数乘运算的概念
实数λ与向量a的积是一个_______，这种运算叫做___________，记作_____，其长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|.
向量
向量的数乘
λa
(2)向量数乘的运算律
①λ(μ a)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
λ>0
λ<0
0
0
想一想
1.向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？
提示：不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算．
做一做
1.3a＋2b－(2a－b)＝________.
答案：a＋3b
2．若|a|＝3，b与a方向相反，且|b|＝6，
则a＝________b.
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b＝λa.
2.已知向量a，b不共线，则c＝a－2b与d＝－2a＋4b
的位置关系是什么？
提示：d＝－2c，故c与d共线．
做一做
题型一　向量的线性运算
【名师点评】　向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．
跟踪训练
解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
题型二　用已知向量表示所求向量
【名师点评】　用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．
跟踪训练
题型三　共线向量定理的应用
跟踪训练
1．实数与向量的积
(1)λ·a的几何意义就是把a沿着与a相同(λ>0时)或相反(λ<0时)的方向伸长(|λ|>1时)或缩短(|λ|<1时)到原来的|λ|倍．
(2)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，比如λ＋a，λ－a无法进行运算．
名师解题
三点共线的判定
1
2
1
2
3
抓关键　促规范
若未能根据点M，N所在的位置，推出 ，则后续推导无法进行，在实际考试中最多给2分，是考试中无法解出本题的主要原因．
若未能根据三角形法则，推出 ，则导致解答本题的整体思路无法构建，故此处是解答本题的关键．
若漏掉 ，则推理不严谨，实际考试中通常只给11分，是丢分最可惜的情况．
1
1
2
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3
跟踪训练
4．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，证明四边形EFGH为平行四边形．