NO.1课堂强化
名师课堂·一点通
考点三
2.2.3

向
量
数
乘
运
算
及
其
几
何
意
义
课前预习·巧设计
创新演练·大冲关
第二章

平面向量
考点一
考点二
读教材·填要点
小问题·大思维
解题高手
NO.2课下检测
2.2

平面向量的线性运算
[读教材·填要点]
向量
向量的数乘
|λ||a|
λ>0
λ<0
0
0
(2)向量数乘的运算律：
①λ(μa)＝ ；
②(λ＋μ)a＝ ；
③λ(a＋b)＝ .
(3)向量的线性运算：
向量的 运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 .
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
加、减、数乘
λμ1a±λμ2b
b＝λa
[小问题·大思维]
1．若λa＝0，则λ＝0对吗？
提示：不对．当λa＝0时，λ＝0或a＝0.
2．共线向量定理中b＝λa，a若为0如何？
提示：当a＝0时，则λ不存在(b≠0时)或者不唯一(b＝0时)．
3．已知向量a，b不共线，则m＝a－3b与n＝－2a＋6b共线吗？
提示：n＝－2m，故m与n共线．
4．与非零向量a共线的单位向量是什么？
[研一题]
[答案]　B
[悟一法]
向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．
[通一类]
1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝ (　　)
A．－a B．－b
C．－c D．以上都不对
解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)
＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2(b＋c)．
又a＝b＋c，故原式＝－a.
答案：A
[研一题]
[悟一法]
1．充分利用平面几何的一些结论，将有关向量转化为相等向量、相反向量、共线向量，建立已知向量与未知向量的关系解决问题．
2．此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程(组)求解．
[通一类]
答案：A
[研一题]
[悟一法]
利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a＝λb”，通过向量关系证出“三点共线”的结论．
[通一类]
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋
e2.若a与b是共线向量，求实数k的值．
[点评]　①由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则、以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三．②当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一，法二．