1．4.2　正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数的图象
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余弦函数的图象
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预习目标

重点难点　
重点：正、余弦函数的性质．
难点：利用正、余弦函数的性质，求正、余弦函数的周期、奇偶性、单调性、最值等问题．
正、余弦函数的图象和性质
R
[－1，1]
周期性：
（1）图象特征：图象从Ｘ轴看等距离重复出现；
（2）数值特征：当自变量x每增加 的整数倍时，函数值重复出现。
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x) 成立，则称函数f(x)为周期函数；非零常数 T叫做这个函数的周期．
（4）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则称这个最小的正数为函数的最小正周期。
练习： 求下列三角函数的周期：
解：（1）∵
（2）∵

（3）∵
在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增；在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减
2kπ(k∈Z)
(2k＋1)π(k∈Z)
(kπ，0)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
做一做
答案：C
想一想
∴周期T＝π.
(3)观察法(图象法)．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征,选择适当方法求解，为了避免出现错误,求周期时要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
变式训练
【名师点评】　判断函数的奇偶性要根据函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提，另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系的作用．
互动探究
(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．
变式训练
【名师点评】　求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，可利用三角函数的图象及单位圆中三角函数线直观地求得解集；求值域时,充分利用弦函数的有界性进行求解.
变式训练
4.求函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域.
解：y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4，0]．
答案：－3
R
R
[-1,1]
[-1,1]
x= 2kπ时　ymax=1
x= 2kπ+ π时 ymin=-1
周期为T=2π
周期为T=2π
奇函数
偶函数
在x∈[2kπ-π， 2kπ ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ ， 2kπ+π ]
上都是减函数 。
(kπ,0)
x = kπ
再见