三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质
正、余弦函数图像特征：
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
注意：函数图像的凹凸性！
知识回顾:
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
注意：函数图像的凹凸性！
余弦函数图像特征：
y=sinx (xR)
y=cosx (xR)
一、正弦、余弦函数的周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
注：1、T要是非零常数
　 2、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
3、 周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周 期）
4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
一.周期性
函数 的周期是
函数 的周期是
二.定义域和值域
正弦函数
定义域：R
值域：[-1，1]
余弦函数
定义域：R
值域：[-1，1]
练习
下列等式能否成立？
×
√
三.单调性
探究：正弦函数的单调性
探究：正弦函数的单调性
都是增函数，其值从－1增大到1；
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性
探究：余弦函数的单调性
由余弦函数的周期性知：
其值从1减小到－1。
其值从－1增大到1 ；
正弦函数的单调性

y=sinx (xR)
-1
0
1
0
-1
余弦函数的单调性
y=cosx (xR)
-1
0
1
0
-1
探究：正弦函数的最大值和最小值
最大值：
有最大值
最小值：
有最小值
四.最值
探究：余弦函数的最大值和最小值
最大值：
有最大值
最小值：
有最小值
当且仅当
当且仅当
当且仅当
当且仅当
正弦、余弦函数的最值
例题
求使函数 取得最大值、最小值的
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
化未知为已知
分析：令
则
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
这两个函数都有最大值、最小值.
练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
五.奇偶性
为奇函数
为偶函数
正弦函数的图象
对称轴：
对称中心：
六、正弦、余弦函数的对称性
余弦函数的图象
对称轴：
对称中心：
六、正弦、余弦函数的对称性
y=sinx的图象对称轴为：
y=sinx的图象对称中心为：
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中心为：
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
C
（ ）
为函数 的一条对称轴的是（ ）
解：经验证，当
时
为对称轴
练习
例1.求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[0,1]
[2,4]
[0,2]
练习：求下列函数的定义域、值域
解(1)：定义域：R. 值域：[-1,1].
∴值域为
解（2）：∵-3sinx ≥0
∴sinx ≤0
∴定义域为
{x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}
又∵-1≤sinx ≤0
∴0≤-3sinx ≤3
练习
P46 (4)
先画草图，然后根据草图判断
练习
P46 练习1
学以致用
奇函数
偶函数
求 函数的对称轴和对称中心
解（1）令
则
的对称轴为
解得：对称轴为
的对称中心为
对称中心为
练习
练习
求 函数的对称轴和对称中心
正弦函数、余弦函数的性质习题课
6
3π
π/2
一、基础题型
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．以上都不对
[答案]　B
3．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数，0≤φ<2π，则φ的值为或 .

4．函数y＝2cos3x的单调增区间为， .
(2)①若a>0，
当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值为a＋b；
当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值为－a＋b.
②若a<0，
当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；
当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.
转化
换元法
[分析]　根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
[辨析]　解答忽视了以下内容：三角形中的最小角θ的范围不是0°<θ<90°，而是0°<θ≤60°，又∵三角形是不等边三角形，故0°<θ<60°.
[辨析]　∵b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b>0与b<0讨论．
练习 求下列函数的单调区间：

归纳：解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响
变形1:
分类讨论法
变形2:
已知关于x的方程2sin2x-cosx+2m=0有解,求m的取值范围.
法1:分离参数法
[答案]　D
[答案]　C
[答案]　B
4．sin1°、sin1、sinπ°的大小顺序是(　　)
A．sin1°C．sinπ°[答案]　B
[解析]　1弧度＝57.3°，
∵y＝sinx在(0°，90°)上是增函数，且1°<π°<1，
∴sin1°5．下列函数中，奇函数的个数为
(　　)
①y＝x2sinx; ②y＝sinx，x∈[0,2π]；
③y＝sinx，x∈[－π，π]; ④y＝xcosx.
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
[答案]　C
[解析]　∵y＝sinx，x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称，∴②不是奇函数，
①、③、④符合奇函数的概念．
6．y＝2sinx2的值域是
(　　)
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
[答案]　A
[解析]　∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
8．函数y＝asinx－b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝________.
[答案]　±4　3
3、求下列函数的值域
正弦函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴，其相邻两条对称轴间距离为半个周期，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
解答三角函数的单调性问题一定要注意复合函数的单调性法则，更要注意函数的定义域．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，ω<0时，先利用诱导公式把x的系数化为正数，然后把ωx＋φ看作一个整体t，考虑函数y＝Asint(或y＝－Asint)的单调区间利用复合函数单调性判定方法，构造不等式解之．
课堂小结:
5、对称性：
y=sinx的图象对称轴为：
对称中心为：
y=cosx的图象对称轴为：
对称中心为：
任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.

练习 求下列函数的单调区间：
练习 求下列函数的单调区间：
解：
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
减区间为
增区间为
即：
练习 求下列函数的单调区间：
奇函数
偶函数
奇偶性
单调性（单调区间）
奇函数
偶函数
单调递增
单调递减
函数
2、定义域
3、值域
1、周期性
R
[ - 1, 1 ]
T = 2
正弦、余弦函数的性质：
4、奇偶性与单调性：
课堂小结: