第五章 生活中的轴对称
3 简单的轴对称图形（第3课时）
一、学生知识状况分析
学生在小学已经学习了简单的轴对称图形的有关知识，对轴对称图形已有一定的认识。根据七年级学生有好奇心、求知欲较强，学生间相互评价、相互提问的积极性高，有参与实践探究活动的要求，因此本节通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称性和角平分线的性质。由于学生对于观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
二、教学任务分析
本节是从折叠入手，使学生进一步认识角轴对称性，让学生通过动手操作、观察、自主探究角平分线的性质。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用，同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
本节的具体教学目标为：
知识目标：
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．
能力目标：
1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
情感目标：
1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；
2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。　
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：动手操作，导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：动手操作，导入课题
活动内容：
[情境问题一]不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？（对折）再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。
教师与学生一起动手操作。展示学生作品。
活动目的：体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。
活动效果：通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间．
第二环节：动手操作，探求新知
1、[情境问题二] 对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形。
学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。
本次活动中，教师重点关注：
(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；
(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。
活动目的：说明用其他实验的方法可以将一个角平分。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功。
活动效果：这个提问设置为角平分线的基本作图的出现做好铺垫，同时证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．
2、问题：
(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
教师提问,学生与老师一起完成探究过程.
学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法。
活动目的：从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功。
活动效果：这个提问设置为角平分线的基本作图的出现做好铺垫，同时证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．
第三环节：猜想再实践，发展几何直觉。
[情境问题三] 将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？


让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕．
问题 1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？
学生动手剪纸，折叠，教师在多媒体上演示折叠过程．学生观察思考后，分组讨论、交流：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等．再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质．（角的平分线上的点到角两边的距离相等）
教师归纳，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示，强调定理的条件和作用．
活动目的：经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维．
活动效果：从实验探索中发现角的平分线的性质，培养学生的数学抽象概括能力及理性精神，让学生体验成功。
第四环节：巩固基础，检测自我。
辨一辨：如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？
判断：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD = CD
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴BD = CD
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴BD = CD
练一练：1、如图，∵ OC是∠AOB的平分线， 又 ________________∴PD=PE ( )
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
活动目的：通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。
活动效果：本次活动中,教师重点关注：(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度; (2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。
第五环节： 课堂小结，布置作业。
小结：我们这节课学习了那些知识？
小节让学生畅所欲言，从不同角度谈论本节课的收获。
活动目的：通过小结归纳，完善学生对知识的梳理
活动效果：加深对本节知识的掌握。
四、教学反思
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验角的轴对称性，为角平分线性质做好铺垫。紧接着引出简易角平分仪推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．