3.1.3　概率的基本性质
学习目标
理解事件的包含关系，相等事件，并事件，交事件及互斥、对立事件，并能用这些事件求解概率．

课堂互动讲练
知能优化训练
3.1.3

概
率
的
基
本
性
质
课前自主学案
课前自主学案
1．必然事件的概率为__，不可能事件的概率为___，随机事件的概率为_______
2．若A，B表示集合，则A∩B＝{x|______________}；
A∪B＝{x|_________________}．
3．若A、B表示集合，对于x∈A都有x∈B，则A、B的关系为______.
1
0
(0,1)．
x∈A且x∈B
x∈A或x∈B
A⊆B
1．事件的关系与运算
(1)包含关系：
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B____________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作_____ (或_______)．
不可能事件记作∅，任何事件都包含____________，事件A也包含于_________.
一定发生
B⊇A
A⊆B
不可能事件
事件A
(2)相等事件：
如果_________，且_______，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.
(3)并事件：
若某事件发生当且仅当事件A发生_______事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件．
B⊇A
A⊇B
或
(4)交事件：
若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
(5)互斥事件与对立事件：
若A∩B是不可能事件，即____________，则称事件A与事件B互斥．若A∩B是不可能事件，且A∪B是__________，则称事件A与事件B互为对立事件．
且
A∩B＝∅
必然事件
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为__________
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝_____________
特别地，若A与B为对立事件，则P(A∪B)＝___，P(A)＝1－P(B)，P(A∩B)＝0.
[0,1]．
P(A)＋P(B)．
1
1．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)成立吗？
提示：不一定成立．因为事件A与事件B不一定是互斥事件．对于任意事件A与B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，那么当且仅当A∩B＝∅，即事件A与事件B是互斥事件时，P(A∩B)＝0，此时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)成立．
2．从2男2女共4个同学中选出2人且至少有一个女同学的基本事件有哪些？它们的关系怎样？
提示：若男同学用甲、乙表示，女同学用丙、丁表示，其基本事件有：①甲丙；②甲丁；③乙丙；④乙丁；⑤丙丁．这五个事件都彼此互斥．
课堂互动讲练
事件的关系与运算有：包含关系、相等关系、并(和)事件、交(积)事件、互斥事件、对立事件，可类比集合理解．
判断下列各对事件是否是互斥事件？对立事件？并说明道理．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中
(1)恰有1名男生和全是男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是男生．
【思路点拨】　理解“恰有”“至少”等的意义，把“至少”的情况一一列举．
【解】　(1)是互斥事件．不是对立事件．
道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“全是男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件．也不是对立事件．
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
(3)不是互斥事件．也不是对立事件．
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
【思维总结】　要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
进行事件的运算时，一是要扣紧运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【思路点拨】　解答本题时要抓住运算的定义．
【解】　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球和三个均为红球，故C∩A＝A.
【思维总结】　在解答(1)时，易出现如下错误：认为A⊆D，B⊆D，出现该错误的原因是没有真正理解题意，没有理解事件D所包含的几种情况．
互动探究1　在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由本例的解答可知
C＝A∪B∪E，C∩F＝A∪B.
某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率．
【思路点拨】　在一次射击中，命中9环、8环、不够8环彼此互斥，可用概率的加法公式求解．
【解】　记这个射手在一次射击中“命中10环或9环”为事件A，“命中10环”、“命中9环”、“命中8环”、“不够8环”分别为事件A1、A2、A3、A4.
由题意知A2、A3、A4彼此互斥，
∴P(A2∪A3∪A4)＝P(A2)＋P(A3)＋P(A4)
＝0.28＋0.19＋0.29＝0.76.
又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件，
∴P(A1)＝1－P(A2∪A3∪A4)＝1－0.76＝0.24.
A1与A2互斥，且A＝A1∪A2，
∴P(A)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝0.24＋0.28＝0.52.
即命中9环或10环的概率为0.52.
【思维总结】　把某个事件看作是某些事件的和事件，且这些事件为互斥关系，才可用概率加法公式．
变式训练2　在2010年广州亚运会开幕前，某人乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
解：(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7，
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
方法技巧
1．判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．(如例1)
2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式．(如例3)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
如果事件不互斥，上述公式就不能使用！
另外，“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应掌握．
失误防范
1．正确理解对立事件的概率，即事件A、B互斥，A、B中必有一个发生，其中一个易求、另一个不易求时才用P(A)＋P(B)＝1解题．
2．用公式时，一定要分清是互斥，还是对立，对立的事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，尤其对于“至多”、“至少”的包含情况要分清．