3.1.3
概率的基本性质
【学习目标】
1.理解事件的包含关系，会用韦恩图表示.
2.理解事件的并、交运算，能就具体事件说明两事件的并、
交事件是什么.
3.理解互斥、对立事件的概念.
4.掌握概率的性质及概率的加法公式.
1.事件间的关系
A⊆B
(1) 包含关系：若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，称

__________________( 或 事 件 A 包 含 于 事 件 B) ， 记 作

__________(或__________)，如图 3-1-5.


图 3-1-5

(2)相等关系：一般地，若 A⊇B，且 A⊆B，则称事件 A 与

事件 B 相等，记作 A＝B.
事件 B 包含事件A
B⊇A
2.事件间的运算
或
和
A＋B
(1)并事件：若某事件发生当且仅当事件 A 发生______事件
B 发生，则称此事件是事件 A 与事件 B 的并事件(或______事件)，
记作__________(或__________)，如图 3-1-6 的阴影部分.
图 3-1-6
图 3-1-7
(2)交事件：若某事件发生当且仅当事件 A 发生______事件
B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或______事件)，
记作________(或________)，如图 3-1-7 的阴影部分.
A∪B
且
积
AB
A∩B
练习 1：某射手一次射击中，击中 10 环、9 环、8 环的概
率分别是 0.24,0.28,0.19，则这射手在一次射击中至多 8 环的概
率是(
)
D
A.0.48

C.0.71
B.0.52

D.0.29
3.互斥事件与对立事件

(1)若 A∩B 为不可能事件，即 A∩B＝∅，则称事件 A 与事
件 B________.
互斥
(2)若 A∩B 为不可能事件，且 A∪B 为必然事件，则称事件
A 与事件 B 互为________事件.
对立
4.概率的性质
0
1
(1)任何事件的概率 P(A)满足：______≤P(A)≤______.

(2)概率的加法公式：当事件 A 与事件 B 互斥时，有 P(A∪
B)＝________________________.
P(A)＋P(B)
(3) 当 事 件 A 与 事 件 B 互 为 对 立 事 件 时 ， 有 P(A) ＝
____________.
1－P(B)
)
C
其中错误的结论共有(
A.3 个
C.1 个
B.2 个
D.0 个
【问题探究】
口袋里装有 1 个白球和 2 个黑球，除颜色外这 3 个球完全

相同，每次从中随机取出 1 个球，记下颜色，放回后，再取出

1 个球.记事件 A 为“两次取到的球的颜色都为白色”，事件 B

为“两次取到的球的颜色不相同”，事件 C 为“两次取到的球

同为白色或 1 个白球和 1 个黑球”，那么 P(C)，P(A)，P(B)有

什么关系？
答案：因为事件 A 发生与事件 B 发生是互相排斥的，事件

C 发生的频数等于事件 A 与事件 B 的频数之和，所以 P(C)＝P(A)

＋P(B)．
题型 1
事件间的关系及运算
【例 1】从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个球，
那么互斥而不对立的两事件是(
)
A.“至少有 1 个黑球”和“都是黑球”
B.“至少有 1 个黑球”和“至少有 1 个红球”
C.“恰有 1 个黑球”和“恰有 2 个红球”
D.“至少有 1 个黑球”和“都是红球”
思维突破：抓住互斥与对立两个概念的联系与区别，正确
理解“至少”“恰有”“都是”的语意是关键.
解析：C 中两事不能同时发生，但可以同时不发生．
答案：C
判断事件间的关系问题时，要与集合的包含关
系、运算关系进行类比，能直观地用 Venn 图表示，同时能将事
件的实质信息等价成另一种表达形式进行理解.如“恰有 1 个黑
球”，在本题条件下等价于“有 1 个黑球、1 个红球”.
【变式与拓展】
1.给出事件 A 与事件 B 的关系示意图如图 3-1-8，试用相应
的图号填空.
图 3-1-8
A⊆B 的示意图是________；
A∪B 的示意图是________；
A∩B 的示意图是________；
事件 A 与 B 互斥的示意图是________；
事件 A 与 B 互为对立事件的示意图是________.
答案：(3) (1)(4)
(2) (1)(5) (5)
2.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，
则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(
)
A.对立事件
C.不可能事件
B.互斥但不对立事件
D.必然事件
解析：因为只有 1 张红牌，所以“甲分得红牌”与“乙分
得红牌”不能同时发生，所以是互斥事件，但是这两个事件不
是必有一个发生，故不是对立事件．故选 B.
B
题型 2
概率加法公式的应用
【例 2】 学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的
概率如下表：

求该选手射击一次，
(1)命中 9 环或 10 环的概率；
(2)至少命中 8 环的概率；
(3)命中不足 8 环的概率.
思维突破：准确理解所求概率的事件是哪些互斥事件的并

事件，或其对立事件是什么，结合概率加法公式进行求解.
解：记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．
(1)∵A9与A10互斥，
∴P(A9＋A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B.
B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，
∴P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．
∴P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
正确分析复杂事件为若干互斥事件的并事件，
或是某一事件的对立事件，是计算事件概率的重要方法.注意
“不足 8 环”与“命中 7 环”的含义不相同.
【变式与拓展】
3.某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购
多得.1000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10
个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事
件分别为 A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1 张奖券的中奖概率；
(3)1 张奖券不中特等奖，且不中一等奖的概率.
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张
奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
∵A，B，C 两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
(3)设“1 张奖券不中特等奖，且不中一等奖”为事件 N，则
事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)
【例 3】 判断下列命题的真假：
(1)将 1 枚硬币抛掷 2 次，设事件 A 为“2 次均为正面”，

事件 B 为“2 次均为反面”，则事件 A 与事件 B 互为对立事件；

(2)在 5 件产品中有 2 件次品，从中任取 2 件，记事件 A 为

“所取的 2 件产品中最多有 1 件是次品”，事件 B 为“所取的

2 件产品中至少有 1 件是次品”，则事件 A 与事件 B 互为互斥

事件；
(3)设 A，B 为两事件，则 P(A＋B)≤P(A)＋P(B).

解：(1)(2)为假命题，(3)为真命题．
[方法·规律·小结]
1.要判断两个事件是互斥事件还是对立事件，需找出两个

事件包含的所有结果，分析它们之间能不能同时发生.在互斥的

前提下，看两事件是否非此即彼，一个不发生必有另一个发生，

进而可判断是否为对立事件.注意：对立事件是互斥事件的特例.

2.在利用概率加法公式求概率时，要正确审题，分析所考

察事件可拆分为哪几个互斥事件的并，其实质是要合理地按一

定标准对复杂事件进行分类.
3.当一个复杂事件包含的情形较多时，可先计算其对立事

件，再由公式 P(A)＝1－P(B)计算.注意事件表达中含有“至少”

等逻辑量词的事件.