3.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义
问题提出
1.在条件S下进行n次重复实验，事件A出现的频数和频率的含义分别如何？
2.概率是反映随机事件发生的可能性大小的一个数据，概率与频率之间有什么联系和区别？它们的取值范围如何？
联系：概率是频率的稳定值；
区别：频率具有随机性，概率是一个
确定的数；
范围：[0，1].
3.大千世界充满了随机事件，生活中处处有概率.利用概率的理论意义，对各种实际问题作出合理解释和正确决策，是我们学习概率的一个基本目的.
概率的意义
探究（一）： 概率的正确理解
思考1：连续两次抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？
“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”.
思考2：抛掷—枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗？
思考3：试验：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向.将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率.你有什么发现？随着试验次数的增多，三种结果发生的频率会有什么变化规律？
“两次正面朝上”的频率约为0.25，“两次反面朝上” 的频率约为0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上” 的频率约为0.5.
思考4：围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑子吗？说明你的理由.
不一定.摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的.可能有两次或两次以上摸到黑子，也可能没有一次摸到黑子，摸到黑子的概率为1-0.910≈0.6513.
思考5：如果某种彩票的中奖概率为

，那么买1000张这种彩票一定能

中奖吗？为什么？
不一定，理由同上. 买1 000张这种彩票的中奖概率约为
1-0.9991000≈0.632，即有63.2%的可能性中奖，但不能肯定中奖.
思考1：某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？哪个班被选中的概率最大？
不公平，因为各班被选中的概率不全相等，七班被选中的概率最大.
探究（二）：概率思想的实际应用
思考2：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法.
思考3：天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的.某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？你认为应如何理解？
降水概率≠降水区域；明天本地下雨的可能性为70%.
思考4：天气预报说昨天的降水概率为 90％，结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预报不准确？如何根据频率与概率的关系判断这个天气预报是否正确？
不能，概率为90％的事件发生的可能性很大，但“明天下雨”是随即事件，也有可能不发生.收集近50年同日的天气情况，考察这一天下雨的频率是否为90％左右.
思考5：奥地利遗传学家孟德尔从1856年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试验的具体数据如下：
显性与隐性之比都接近3︰1
孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同的后代，并且每次试验的显性与隐性之比都接近3︰1，这种现象是偶然的，还是必然的？我们希望用概率思想作出合理解释.
思考6：在遗传学中有下列原理：
（1）纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征.
（2）用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征，符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征.
（3）当这两种豌豆杂交时，第一年收获的豌豆特征为：Yy.把第一代杂交豌豆再种下时，第二年收获的豌豆特征为： YY ，Yy，yy.
黄色豌豆(YY，Yy)︰绿色豌豆(yy)
≈3︰1
（4）对于豌豆的颜色来说．Y是显性因子，y是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时，表现显性因子的特性，即YY，Yy都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性，即yy呈绿色．
在第二代中YY，Yy，yy出现的概率分别是多少？黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少？
黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆的杂交试验分析图解
知识迁移
1 为了估计水库中的鱼的尾数，先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼作上记号（不影响其存活），然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计这个水库里鱼的尾数．
2 在足球点球大战中，球的运行只有两种状态，即进球或被扑出.球员射门有6个方向：中下，中上，左下，左上，右下，右上，门将扑球有5种选择：不动．左下，右下，左上，右上.如果
①不动可扑出中下和中上两个方向的点球；②左下可扑出左下和中下两个方向的点球；③右下可扑出右下和中下两个方向的点球；④左上可扑出左上方向的点球；
⑤右上可扑出右上方向的点球.
那么球员应选择哪个方向射门，才能使进球的概率最大？
小结作业
1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大.
2.孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从
豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，
这是一种科学的研究方法，我们应认真体会
和借鉴.
3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
3.1.3 概率的基本性质
事件
的关系
和运算
概率的
几个基
本性质
比如在掷骰子这个试验中：“出现的点数小于或等于3”这个事件中包含了哪些结果呢？
①“出现的点数为1” ②“出现的点数为2”
③“出现的点数为3”这三个结果
一.创设情境，引入新课
上一节课我们学习了随机事件的概率，举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们来研究
概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来研究一下事件之间有什么关系。
你能写出在掷骰子的试验中出现的其它事件吗？
C1 ={出现1点}；C2={出现2点}； C3={出现3点}；
C4 ={出现4点}；C5={出现5点}； C6={出现6点}；
上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的
话，哪些是？
D1={出现的点数不大于1}； D2={出现的点数大于3}；
D3={出现的点数小于5}； E={出现的点数小于7};
F={出现的点数大于6}; G={出现的点数为偶数};
H={出现的点数为奇数};……
一.创设情境，引入新课
2. 若事件C1发生，则还有哪些事件也一定会发生？
反过来可以吗？
3.上述事件中，哪些事件发生会使得 K={出现1
点或5点}也发生？
6.在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个
会发生？
5.若只掷一次骰子，则事件C1和事件C2有可能同
时发生么？
4.上述事件中，哪些事件发生当且仅当事件D2且事
件D3同时发生?
（一）事件的关系和运算：
B
A
如图：
（1）包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作
二.剖析概念，夯实基础
（2）相等关系
B
A
如图：
例.事件C1={出现1点}发生，则事件D1={出现的点数不大于1}就一定会发生，反过来也一样，所以C1=D1。
二.剖析概念，夯实基础
（3）并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件），记作 。
B
A
如图：
二.剖析概念，夯实基础
（4）交事件（积事件）
B
A
如图：
例.若事件 C4 ={出现4点}发生，则事件D2 ={出现点数大于3}与事件D3 ={出现点数小于5}同时发生，则
二.剖析概念，夯实基础
（5）互斥事件
A
B
如图：
例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}
不可能同时发生，故这两个事件互斥。
二.剖析概念，夯实基础
（6）互为对立事件
如图：
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件
H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。
二.剖析概念，夯实基础
①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系，
而对立事件只针对两个事件而言。
②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生，
也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；
而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外，
还要求这二者之间必须要有一个发生，因此，
对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，
但互斥事件不一定是对立事件。

互斥事件与对立事件的区别：
事件与集合之间的对应关系
1.概率P(A)的取值范围
（1）0≤P(A)≤1.
（2）必然事件的概率是1.
（3）不可能事件的概率是0.
（二）概率的基本性质
二.剖析概念，夯实基础
思考：掷一枚骰子,事件C1={出现1点}，事件
C3={出现3点}则事件C1  C3 发生的频率
与事件C1和事件C3发生的频率之间有什
么关系?
结论：当事件A与事件B互斥时
二.剖析概念，夯实基础
2.概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则
P (A  B)= P (A) + P (B)
若事件A，B为对立事件,则
P(B)=1－P(A)
3.对立事件的概率公式
二.剖析概念，夯实基础
注意：1.利用上述公式求概率是，首先要确定
两事件是否互斥，如果没有这一条件，该公式
不能运用。即当两事件不互斥时，应有：
如果事件A与事件B互斥，则
P (A  B)= P (A) + P (B)
P (A  B)= P (A) + P (B) - P()
2.上述公式可推广，即如果随机事件A1，A2，
……，An中任何两个都是互斥事件，那么有
P (A1  A2 … An)= P (A1) + P (A2)+…+P(n)
一般地，在解决比较复杂的事件的概率问题时，常常把复杂事件分解为几个互斥事件，借助该推广公式解决。
(1)将一枚硬币抛掷两次，事件A：两次出现正
面，事件B：只有一次出现正面．
(2)某人射击一次，事件A：中靶，事件
B：射中9环．
(3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B：射中环数小于5.
(1),(3)为互斥事件
三.迁移运用，巩固提高
1、判断下列每对事件是否为互斥事件
（一）独立思考后回答
2、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
不互斥
三.迁移运用，巩固提高
互斥不对立
不互斥
互斥且对立
3、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，是对立事件的为( )
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
A．① B．②　　C．③　 D．④
B
三.迁移运用，巩固提高
4.从一批产品中取出三件产品，
设A＝｛三件产品全不是次品｝
B＝｛三件产品全是次品｝
C＝｛三件产品不全是次品｝
则下列结论正确的是（ ）
A.只有A和C互斥 B.只有B与C互斥
C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥
B
三.迁移运用，巩固提高
5.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个黑球与都是黑球
B.至少有一个黑球与至少有一个红球
C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D.至少有一个黑球与都是红球
C
三.迁移运用，巩固提高
6.如果事件A,B是互斥事件，则下列说法正确的
个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为________，甲不输的概率为________．
80%
20%
三.迁移运用，巩固提高
8.某射手射击一次射中，10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24、0.28、0.19、 0.16，计算这名射手射击一次
1）射中10环或9环的概率；
2）至少射中7环的概率.
3）射中环数不足8环的概率.
三.迁移运用，巩固提高
(二)根据题意列清各事件后再求解，完成后
自由发言.
0.52
0.87
0.29
三.迁移运用，巩固提高
9、在一次数学考试中，小明的成绩在90分
以上的概率是0.13，在80～89分以内的概率
是0.55，在70～79分以内的概率是0.16，在
60～69分以内的概率是0.12，求小明成绩在
60分以上的概率和小明成绩不及格的概率．
[解析]　分别记小明成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分，60分以下(不及格)为事件A、B、C、D、E，显然它们彼此互斥，故小明成绩在80分以上的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.13＋0.55＝0.68.
小明成绩在60分以上的概率为P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.13＋0.55＋0.16＋0.12＝0.96.
∴小明成绩不及格的概率为P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)＝1－0.96＝0.04.
三.迁移运用，巩固提高
10、一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球．求：
(1)取出球的颜色是红或黑的概率；
(2)取出球的颜色是红或黑或白的概率．
三.迁移运用，巩固提高
独立思考后，可以小组讨论，尝试用多种方法
解题，理清思路，代表发言。
三.迁移运用，巩固提高
练习1 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为1/3，得到黑球或黄球的概率是5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，
则有 P(B∪C)=P(B)+P(C) =5/12;
P(C∪D)=P(C)+P(D) =5/12;
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) =1-1/3=2/3;
解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4.
答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.
练习2某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，
（1）故P(A∪C)=0.4；
（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1－P(B)=0.8；
（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。
1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件
2.概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1-P(B)；