2. 3　变量间的相关关系
第二章　统　计
学习导航
学习目标
重点难点　
重点: 求回归直线的方程.
难点: 变量的相关关系.
1. 变量之间的相关关系及其判断
(1)变量之间的相关关系
①相关概念
变量之间常见的关系有如下两类:
a. 一类是__________ 变量之间的关系可以用函数表示.
函数关系
例如, 圆的面积S与半径r之间就是函数关
系, 可以用函数S＝πr2表示.
b. 一类是____________, 变量之间有一定的联系, 但不能完全用函数来表示. 例如, 人的体重y与身高x有关. 一般来说, 身高越高, 体重越重, 但不能找到一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.
相关关系
②函数关系与相关关系的区别与联系
确定性关系
非确定性
(2)两个变量相关关系的判断
①散点图的概念
将样本中n个数据点(xi, yi)(i＝1,2, …, n)描在平直角坐标系中得到的图形.
②正相关与负相关
a. 正相关: 散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.
b. 负相关: 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
做一做
1.下列变量之间的关系不是相关关系的是
(　　)
二次函数y＝ax2＋bx＋c中, a, c是已知
常数, 取b为自变量, 因变量是判别式
Δ＝b2－4ac
B. 光照时间和果树亩产量
C. 降雪量和交通事故发生率
D. 每亩田施肥量和粮食亩产量
解析: 选A.在A中, 若b确定, 则a, b, c都是常数, Δ＝b2－4ac也就唯一确定了, 因此, 这两者之间是确定性的函数关系; 一般来说, 光照时间越长, 果树亩产量越高; 降雪量越大, 交通事故发生率越高; 施肥量越多, 粮食亩产量越高. 所以B, C, D是相关关系. 故选A.
2. 回归直线的相关概念
(1)回归直线: 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 就称这两个变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫做回归直线.
(2)回归方程: 回归直线对应的方程叫回归直线的方程, 简称回归方程.
最小二乘法
做一做
④表示最接近y与x之间真实关系的一条
直线.
A. ①②　　 B. ②③
C. ③④ D. ①④
想一想
求线性回归方程时应注意的问题是什么？
提示: (1)求线性回归方程时, 应注意只有在散点图大致呈线性相关时, 求出的线性回归方程才有实际意义, 因此, 对数据作线性回归分析时, 应先看其散点图是否呈线性相关关系.
(2)求线性回归方程, 关键在于正确地求出系数a、b, 由于求a、b的计算量较大, 计算时应仔细谨慎、分层进行, 避免因计算产生失误.
(3)得到的试验数据不同, 则a、b的结果也不尽相同.
题型一　相关关系的判断
以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位: 万元)和房屋面积x(单位: m2)的数据:
(1)画出数据对应的散点图;
(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系, 是正相关还是负相关？
【解】　(1)数据对应的散点图如图所示.
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断, 新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系, 且是正相关.
【名师点评】　
两个随机变量x和y相关关系的确定方法:
(1)散点图法: 通过散点图, 观察它们的分布是否存在一定规律, 直观地判断;
(2)表格、关系式法: 结合表格或关系式进行判断;
(3)经验法: 借助积累的经验进行分析判断.
变式训练
观察两相关变量得如下数据:

画出散点图, 判断它们是否有线性相关关
系.
解: 由数据可得相应的散点图(如图所示):
由散点图可知, 两者之间不具有线性相关关系.
题型二　求回归直线方程
(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:
【解】　(1)散点图如图: 4分
(3)当x＝100时, y＝0.7×100＋0.35＝70.35
(吨), 90－70.35＝19.65(吨). 即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤. 12分
名师微博
你知道吗？这是估计值, 不一定是真实值
互动探究
2. 如果把本题中的y的值: 2.5及4.5分别改为2和5, 如何求回归直线方程.
题型三　利用回归方程估计总体
2012年元旦前夕, 某市统计局统计了该市2010年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表:
【解】　(1)散点图如图:由散点图可知, 年收入越高, 年饮食支出越高, 图中点的趋势表明两个变量间也确实存在着线性相关关系.
【名师点评】　(1)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.
(2)利用回归直线对总体进行估计, 关键在于正确地求出回归方程的系数, .由于, 的计算量大, 可借助计算器或计算机, 计算时要仔细, 避免计算失误.
变式训练
3. 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(单位: 万元)有如下的统计资料:
若由资料知y对x呈线性相关关系. 试求:
解: (1)列表如下:
1. 下列选项中的两个变量, 具有相关关系的是(　　)
解析: 选B.由图易知, A、C描述的是函数关系, B、D是散点图, 只有B中两个变量成正相关关系.
2. (2010·高考广东卷)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位: 万元)与年平均支出Y(单位: 万元)的统计资料如下表所示:
根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是________, 家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系.
解析: 把居民家庭的年平均收入按从小到大的顺序排, 依次为: 11.5,12.1,13,13.3,15, 由中位数的定义知, 年平均收入的中位数是13万元. 由统计资料可以看出, 当年平均收入增多时, 年平均支出也增多, 因此家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系.
答案: 13　正
3. (2011·高考安徽卷)某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:
解: (1)由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升的, 对数据预处理如下:
方法技巧
1. 两个变量x和y相关关系的确定方法:
(1)散点图法: 通过散点图, 观察它们的分布是否存在一定规律, 直观地判断;
(2)表格、关系式法: 结合表格或关系式进行判断;
(3)经验法: 借助积累的经验进行分析判断. (如例1)
2. 回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性. (如例3)
失误防范
1. 利用散点图判定两个变量是否具有线性相关关系, 注意不要受个别点的位置的影响.
2. 求回归直线方程, 关键在于正确地求出系数a, b, 由于a, b的计算量大, 计算时要仔细, 避免计算失误.