2.3 变量间的相关关系
【学习目标】
1.了解相关关系的概念.
2.会利用散点图直观地判断两个变量之间是否有较强的线
性关系.
3.了解最小二乘法的思想，并能根据给出的线性回归方程
系数公式求线性回归方程.
1.相关关系的概念
不确定
随机性
相关关系是指变量之间存在某种程度上的________关系，
即当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的________.
2.两个变量的线性相关
(1)散点图：
将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角
坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形
叫做散点图.
(2)正相关、负相关的概念：
如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由小
变大，那么这种相关称为__________；反之，如果一个变量的
值由小变大时，另一个变量的值是由大变小，那么这种相关称
为__________.
正相关
负相关
(3)回归直线方程：
定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线
附近，那么我们就称这两个变量之间具有______________，这
条直线叫做____________.
线性相关关系
回归直线
练习：有关线性回归的说法，不正确的是(
)
A.相关关系的两个变量是非确定关系
D
B.散点图能直观地反映数据的相关程度
C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D.散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强
3.最小二乘法
通过求 (yi－bxi－a)2的最小值而得到回归直线的方法，
叫做最小二乘法.
【问题探究】
答案：(1)回归直线方程中的截距与斜率都是通过样本估计
出来的，存在随机误差.
题型 1 相关关系的概念
)
【例 1】 下面两个变量之间的关系是相关关系的是(

A.正四面体的棱长与体积

B.电压一定时，电流与电阻

C.两地距离一定，车辆运行的平均速度与运行的时间

D.数学成绩与物理成绩

思维突破：函数关系是确定性关系，是因果关系.

答案：D
【变式与拓展】
1.下列关系不是相关关系的是(
)
B
A.日照时间与水稻亩产量
B.圆的半径与圆的内接正三角形的面积
C.父母的身高与子女的身高
D.降雪量与交通事故的发生率
题型 2 求线性回归方程
【例 2】 一车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所
花费的时间，为此进行了实验，收集数据如下表：
(1)画出散点图；
(2)求回归方程；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
思维突破：作散点图进行判断，若是线性相关，则利用公
式计算回归系数.
解：(1)散点图如图 D16.
图 D16
(2)列表如下：
(3)由回归直线方程，可知：每增加 1 个零件，加工时间平
均增加 0.667 分钟.
【变式与拓展】
2.(2013 年广东六校一模)已知 x，y 取值如下表：
)
B
a，则 a＝(
A.1.30

C.1.65
B.1.45

D.1.80
题型 3 利用回归直线对总体进行估计
【例 3】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品
过程中记录的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单位：吨标
准煤)的几组对照数据：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线
(3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨

标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测技改后生产 100 吨

甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
思维突破：获得线性回归方程后，用解释变量的取值，对
总体进行估计.
解：(1)散点图如图 D17.
图 D17
【变式与拓展】
3.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2016 年的粮食需
求量.
解：(1)由所给数据，需求量与年份之间的关系是近似直线

上升，为此对数据处理如下表：

对处理后的数据计算，得
所求回归直线方程为 y－257＝b(x－2010)＋a＝6.5×(x－
2010)＋3.2，即 y＝6.5(x－2010)＋260.2.
(2)当 x＝2016 时，y＝6.5×(2016－2010)＋260.2＝299.2(万
吨)，即该地 2016 年的粮食需求量为 299.2 万吨.
【例 4】 观察下列变量 x，y 的散点图：
图 2-3-1
图 2-3-1 所示的两个变量具有相关关系的是(
)
A.(2)(3)

C.(2)(4)
B.(1)(2)

D.(3)(4)
易错分析：误认为(4)不具有相关关系，而误认为(3)具有相
关关系.
解析：(3)是严格地共线点，是确定的关系，即函数关系，
(4)的散点图大致在一抛物线上.
答案：C
[方法·规律·小结]
1.两变量之间的关系分两类.
(1)确定性的函数关系.例如以前学习过的一次函数、二次函
数等.
(2)带有随机性的变量间的相关关系.例如：“身高者，体也

重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.

两者的相同点是均指两变量间的关系.不同点是函数关系

是一种确定关系，相关关系是一种不确定关系，具有随机性；

函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也

可能是伴随关系.
2.根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确地判
断两个变量是否具有相关关系.
如果散点图中变量的对应点分布在某条直线的周围，我们
就可以得出结论：这两个变量具有相关关系.如果变量的对应点
分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关
关系.