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2.3变量间的相关关系
对于两个变量，如果一个变量取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量时函数关系。函数关系是一种确定性的关系，例如匀速直线运动中时间与路程的关系是完全确定的，一个t对应一个s。
我们今天要学习一个新的关系：相关关系
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思考？有人说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。”我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量时函数关系吗？ 不是
学生的物理成绩与数学成绩之间存在一种相关关系。
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物理成绩与数学成绩确定是相关的，但两者之间不是确定的函数关系，两者之间的对应不严格，有一定的随机性，它们是相关关系。当然水涨船高，属正相关关系。

物理成绩与数学成绩有一定关系，但还和是否喜欢物理，和学生在物理学习上所用的时间等都有关系。
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我们还可以举出现实生活中存在许多相关关系的问题
1.商品销售收入与广告支出经费之间的关系。 商品销售收入与广告支出经费由密切的联系，但商品销售收入还与商品质量、居民收入等因素有关。

2.粮食产量与施肥量之间的关系。 在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但是粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。

3.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系。在一定年龄段内，随年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能 还与个人 的先天体质有关。
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例1.下面变量间的关系属于相关关系的是（ ）
A.圆的周长和它的半径之间的关系
B.价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系
C.家庭收入与消费支出之间的关系
D.正方形的面积和它的边长之间的关系
C
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练习1.下列两个变量之间不具有相关关系的是（ ）
A.小麦的产量与施肥量
B.球的体积与表面积
C.蛋鸭产蛋个数与饲养天数
D.甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
B
练习2.下列两个变量中具有相关关系的是（ C ）
A.正方形的体积与棱长
B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C.人的身高和体重
D.人的身高与视力
函数关系
函数关系
相关关系
无相关关系
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85页练习
1.有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语，吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？
吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系，但两者是相关关系，而且属负相关，吸烟影响健康是事实，故应禁烟。
2.某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人统计发现，村庄附近栖息的天鹅多，这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低。于是，他认为天鹅能够带来孩子。你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？
不可靠，从 表面看，似有因果关系，但函数关系式一种因果关系，而相关关系部一定是因果关系，也可能是伴随关系，是环境条件改善的两种伴随关系。
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2、两个变量的线性相关
（1）回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。
（2）散点图
A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程
注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则这两个变量之间不具有相关关系.
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探究：
.
年龄
脂肪
23
9.5
27
17.8
39
21.2
41
25.9
45
49
27.5
26.3
50
28.2
53
29.6
54
30.2
56
31.4
57
30.8
年龄
脂肪
58
33.5
60
35.2
61
34.6
如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄
之间有怎样的关系吗？
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从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄 人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴，
脂肪含量为纵轴建立直
角坐标系，作出各个点，
称该图为散点图。
如图：
O
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
5
10
15
20
25
30
35
40
11
从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：
如高原含氧量与海拔高度
的相关关系，海平面以上，
海拔高度越高，含氧量越
少。
作出散点图发现，它们散
布在从左上角到右下角的区
域内。又如汽车的载重和汽
车每消耗1升汽油所行使的
平均路程，称它们成负相关.
注：课本P86的思考.
O
12
思考（1）两个变量成负相关关系时，散点图有什么特点？负相关的两个变量的散点图中点分布的区域为左上角到右下角。
（2）你能列举出一些生活中的变量成正相关或成负相关的例子吗？
正相关：学习时间与成绩
负相关：日月用眼和视力
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我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。
那么，我们该怎样来求出这个回归方程？
请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
14
.
.方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的
和最小时，测出它的斜率和截距，得回归
方程。
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
如图 ：
15
.
方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧
的点的个数基本相同。
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
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方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出 这些直线的斜率和截距的平均值作为回归 直线的斜率和截距。而得回归方程。 如图
我们还可以找到
更多的方法，但
这些方法都可行
吗?科学吗？
准确吗？怎样的
方法是最好的？
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
我们把由一个变量的变化
去推测另一个变量的方法
称为回归方法。
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回归直线
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最小”.
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这样的方法叫做最小二乘法.
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人们经过实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P80）
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思考：把表2-3中的年龄作为x代入回归方程，看看得出的数值与真实数值之间的关系，从中体会什么？
把年龄x代入回归直线方程，可以看到估计值y与数据Y的值是由差距的，这说明1.体内脂肪含量与年龄是相关关系，而非函数关系；2.回归直线能较好地逼近两变量的关系，直线在整体上的接近程度最好，但因相关关系的非确定性，有些点的差距还是较大的。
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例3、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：
（1）画出散点图；
（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；
（3）求回归方程；
（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.
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当x=2时，y=143.063.
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(2)各点散步从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
思考：气温为2摄氏度时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？
不一定，因为回归方程整体上的接近程度最好，但只能是较好的逼近，相关变量有随机性。
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一、相关关系的判断
例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
解：
由散点图可见，两者之间具有正相关关系。
25
二、求线性回归方程
例2：观察两相关变量得如下表：
求两变量间的回归方程
解1：
列表：
26
27
总结
基础知识框图表解
变量间关系
函数关系
相关关系
散点图
线形回归
线形回归方程