2.3

变量间的相关关系
理解教材新知
把握热点考向
应用创新演练
第二章

统计
知识点一
知识点二
考点一
考点二
考点三
下表是某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：
问题1：以x为横从标，y为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点．
提示：
问题2：房屋的销售价格与房屋的面积有关系吗？
提示：有关系
问题3：怎样描述房屋的销售价格与房屋的面积之间的变化关系？
提示：大体上来看，面积越大，售价越高．但不是正比例函数关系
两个变量的线性相关
(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
(2)正相关与负相关：
①正相关：散点图中的点散布在从 到
的区域．
②负相关：散点图中的点散布在从 到
的区域.
左下角
右上角
左上角
右下角
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：
问题1：在平面直角坐标系中作出散点图？
提示：
问题2：从散点图中判断x与y之间是否有相关关系？
提示：具有相关关系
问题3：若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数．
提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测
回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近，就称这两个变量之间具有
关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程： 的方程，简称回归方程．
一条直线
一条直线
回归直线
(x1，y1)
(x2，y2)
(xn，yn)
斜率
截距
1．相关关系与函数关系均是指两个变量的关系，不同的是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是一种伴随关系．
(2)利用最小二乘法求a、b时，是将Q转化为关于a或b的二次函数，利用二次函数的知识求得的．
[例1]　下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据(单位：kg)：
(1)将上表中的数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？
(3)若近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．
[思路点拨]　作出散点图．根据散点图判断．
[精解详析]　(1)以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图所示．
(2)从图中可以发现，施肥量与水稻产量之间具有线性相关关系，且是正相关的．
(3)画出的一条直线如图所示．
[一点通]　
1．两个变量x和y相关关系的确定方法：
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
2．判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
1．下列变量之间的关系是相关关系的是 (　　)
A．正方体的表面积与体积．
B．光照时间与果树产量
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩
解析：其中A、C的两个变量是函数关系，D中两个变量无相关关系．
答案：B
2．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：
千万元)之间有如表对应数据：
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系．
解：(1)散点图如下，
(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系.
[例2]　5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：
[精解详析]　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示．
由散点图可知，两者之间具有相关关系．
列表，计算
答案：A
4．在钢铁碳含量对于电阻的效应的研究中，得到如
下表所示的一组数据：
解：(1)作出散点图如图所示．
[例3]　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
[精解详析]　(1)散点图，如图所示．
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)．
[一点通]　只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．
解析：回归直线是用来估计总体的，所以我们求的值都是估算值，所以我们得到的结果也是近似的．只要把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为145.83 cm.
答案：D
6．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深
度y(单位：μm)与腐蚀时间x(单位：s)之间相应的一组观察值如下表：
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求回归方程；
(3)如果腐蚀时间为100 s，试预测此时的腐蚀深度．
解：(1)散点图如图所示．
1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．
2．求回归直线方程时应注意的问题
(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．