一、对位移公式 的理解
1.公式的物理意义：反映了位移随时间的变化规律.
2.公式应用时注意的问题：因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向.
若a与v0同向，则a取正值；
若a与v0反向，则a取负值.
若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；
若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负.
3.应用公式比较t时间内中间时刻的速度和中间位置的速度大小，即
4.公式的拓展
(1)当已知物体的运动时间t和末速度v时求位移x，则公式为
(2)当v0=0时, 这就是初速度为零的匀变速直线运动的位移公式.
(3) 这是已知v0、v时求匀变速直线运动的位移公式.
（1）公式 仅适用于匀变速直线运动.
（2）应用位移公式解题时常选初速度的方向为正方向，物体若加速则加速度为正值，减速则加速度为负值.
【典例1】火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8 km/h，1 min后变成 54 km／h，再经一段时间，火车的速度达到64.8 km/h.求所述两个过程中，火车的位移分别是多少？
【解题指导】应用已知条件求出火车的加速度及运动时间，利用位移公式可以求出相应位移.
【标准解答】v1=10.8 km／h=3 m/s,
v2=54 km／h=15 m/s,
v3= 64.8 km／h=18 m/s,t1=1 min=60 s.
火车的加速度
故火车在前一段的位移
火车在后一段的运动时间
火车在该段运动时间内的位移

答案：540 m 247.5 m
【规律方法】匀变速直线运动公式拓展
（1）如果物体从静止开始做匀加速直线运动，即物体的初速度v0=0,则位移公式变为 物体的位移x与运动时间t的二次方成正比.
（2）物体在时间t内的平均速度
即从静止开始的匀加速直线运动的平均速度等于末速度的一半.
（3）若初速度不为零,即v0≠0，末速度为v,则运动时间t内的平均速度 且式中各物理量均有正负号.
【互动探究】(1)火车从静止开始运动，匀加速到72 km/h的速度时前进了多大距离?
(2)已知火车整个匀加速运动过程共前进了4 km,求整个匀加速运动过程的时间和最大速度.
【解析】（1）v=72 km/h=20 m/s,达到此速度时的时间

故位移
（2）由 得火车运动的总时间

火车的最大速度
vm=at=0.2×200 m/s=40 m/s=144 km/h
答案：（1）1 km (2)200 s 144 km/h
二、位移—时间图象（x-t图象）
1.位移—时间图象
(1)匀速直线运动的x-t图象如图甲所示是一条倾斜的直线.
(2)匀变速直线运动的x-t图象:v0=0时如图乙.
2.对两图象的几点说明
(1)纵截距：表示初始时刻的位置.
(2)横截距：表示物体从开始计时到开始运动间隔的时间或物体运动到原点时的时刻.
(3)两图象的交点：表示两物体在同一位置(即相遇).
(4)图象的斜率等于物体运动的速度，斜率为正值表明速度为正，物体向正方向运动；斜率为负值表明速度为负，物体向负方向运动.
(5)乙图表示速度越来越大，曲线弯曲不表示做曲线运动.
（1）位移—时间图象不是物体的运动轨迹.
（2）位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动.
【典例2】（2011·济南高一检测）
龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟
兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的
x-t图象如图所示，下列关于兔子
和乌龟运动的说法中正确的是（ ）
A.兔子和乌龟是从同一地点出发的
B.乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速
C.骄傲的兔子在T4时刻发现落后奋力追赶，但由于跑得比乌龟慢，还是让乌龟先到达预定位置x3
D.在T2～T4时间内，兔子比乌龟运动得快
【解题指导】做好本题应知道静止和匀速运动物体的x-t图象的特点，明确物体运动快慢与直线斜率的关系，知道图象的截距、交点的意义.
【标准解答】选A.兔子和乌龟都是从原点出发，A对；乌龟一直做匀速运动，兔子先是没动，T1时开始匀速前进，T2到T4时间内又停止，T4后又开始前进，B错；兔子虽在T4时刻发现落后奋力追赶，跑得比乌龟快，但由于时间太晚，还是让乌龟先到达预定位置x3，C错；在T2～T4时间内，兔子停止不动，乌龟一直前进，D错.
【规律方法】运动图象的应用技巧
(1)正确确认是哪种图象.v-t图象与x-t图象的辨认主要是看它们的纵坐标轴所代表的物理量,不要只看图线的形状.
(2)理解并熟记五个对应关系:
①斜率与加速度或速度对应.
②纵截距与初速度或初始位置对应.
③横截距对应速度或位移为零的时刻.
④交点对应速度或位置相同.
⑤拐点对应运动状态发生改变.
【变式训练】如图是甲、乙两
个物体在同一直线上运动时的
位移—时间图象，由图象可知
（ ）
A.乙开始运动时，两物体相距20 m
B.在0～10 s这段时间内，两物体间的距离逐渐增大
C.在10～25 s这段时间内，两物体间的距离逐渐减小
D.两物体在10 s时相距最远，在25 s时相遇
【解析】选B、C、D.由图象可知，开始计时时,甲、乙相距20 m,乙在10 s时开始运动，此时两物体间的距离已超过
20 m，A错误.在0～10 s这段时间内，两物体纵坐标的差值逐渐增大，说明两物体间的距离逐渐增大，B正确；在10～25 s这段时间内，两物体纵坐标的差值越来越小，说明两物体间的距离逐渐减小，C正确；由以上分析知两物体在
10 s时相距最远，在25 s时，两图线相交，两物体纵坐标相等，说明它们到达同一位置，即相遇.D正确.
【变式备选】如图是做直
线运动的甲、乙物体的位移—时
间图象，由图象可知（ ）
A.甲启动的时间比乙早t1秒
B.当t=t2时两物体相遇
C.当t=t2时两物体相距最远
D.当t=t3时两物体相距x0米
【解析】选A、B、D.由位移—时间图象知甲启动的时间比乙早t1秒，A正确；t=t2时两物体在同一位置，即相遇，B正确，C错误；t=t3时甲位于原点,乙位于离原点x0米处,两物体相距x0米，D正确.
三、匀变速直线运动的两个重要推论
1.平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半.
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由 得， ①
平均速度 ②
由速度公式v=v0+at知，当 时
③
由②③得 ④
又 ⑤
由③④⑤解得
所以
2.逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx=xⅡ-xⅠ=aT 2
推导：时间T内的位移 ①
在时间2T内的位移 ②
则xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1 ③
由①②③得Δx=xⅡ-xⅠ=aT 2
此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度.
（1）以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题.
（2）推论式xⅡ-xⅠ=aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度.
【典例3】（2011·吉安高一检测）有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求质点的初速度和加速度大小.
【解题指导】物体做匀加速直线运动，选取不同的物理公式可用多种方法进行求解.
【标准解答】（1）常规解法：如图所示，物体从A到B再到C各用时4 s，AB=24 m，BC=64 m，设物体的加速度为a，由位移公式得：
将x1=24 m,x2=64 m,
T=4 s代入两式求得vA=1 m/s,a=2.5 m/s2.
(2)用平均速度求解：
又 即16=6+a×4，
得a=2.5 m/s2,
再由 求得vA=1 m/s
（3）用推论公式求解：
由x2-x1=aT2得64-24=a·42，所以a=2.5 m/s2,再代入
可求得vA=1 m/s.
答案：1 m/s 2.5 m/s2
【规律方法】应用推论 解题时应注意
（1）推论 只适用于匀变速直线运动,且该等式为矢量式.
（2）该推论是求瞬时速度的常用方法.
（3）当v0=0时, v=0时,
【变式训练】飞机在航空母舰上起飞时，在6秒的时间内从30 m/s的弹射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度.
【解析】飞机起飞过程的平均速度

飞行甲板的最小长度
答案：240 m
【变式备选】(2011·莆田高一检测)一物体做匀加速直线运动,初速度为0.5 m/s,第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m,求:
(1)物体的加速度;
(2)物体在前5 s内的位移.
【解析】(1)利用相邻的相等时间里的位移差公式:Δx=aT2,知Δx=4 m,T=1 s

(2)再用位移公式可求得


=27.5 m
答案:(1)2 m/s2 (2)27.5 m
1.在匀速直线运动中，物体的位移等于v-t图线下面矩形的面积.
2.在匀变速直线运动中，其v-t图象是一条倾斜的直线，要求t时间内物体的位移，我们可以把时间分成n小段，从每小段起始时刻的速度乘以时间 就近似等于这段时间的位移，各段位移可用一高而窄的小矩形的面积表示，把所有小矩形的面积相加，就近似等于总位移，如图所示.如果n的取值趋向于无穷大，那么结果就很精确了，实际上v-t图线下面梯形的面积就表示了物体的位移.如图所示，面积为：
换上对应的物理量得
把v=v0+at代入即得
3.当n的取值趋向于无穷大时，也就是把梯形无限细分，所有矩形面积的和就趋近于梯形的面积，即矩形面积总和的极限等于梯形面积，或者说折线无限细分之后的极限是直线.像这种微分与极限的思想在学习物理的过程中经常用到，这是一种科学的分析方法.
【典例】（2011·保定高一检测）某物体做直线运动，物体的速度—时间图象如图所示.若初速度的大小为v0，末速度的大小为v，则在时间t1内物体的平均速度是（ ）

A.等于 B.小于
C.大于 D.条件不足，无法比较
【解题指导】求解本题要明确两个关系：
（1）v-t图象的“面积”与位移的关系；
（2）匀变速直线运动的平均速度与初、末速度的关系.
【标准解答】选C.若物体做初速度
为v0、末速度为v的匀变速直线运动，
在时间0～t1内的位移为图中阴影
部分的面积，即 其平
均速度为 但
物体实际的v-t图象中图线与时间轴包围的面积大于阴影部分的面积，所以平均速度应大于 故A、B、D均错，C正确.
“刹车”陷阱导致错误
一辆汽车以20 m/s的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动.已知汽车刹车过程的加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s汽车通过的距离是多少？
【正确解答】设刹车开始至停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向.
由vt＝v0+at0，
得
可见，汽车刹车时间为4 s，第5 s是静止的.
由 知刹车5 s内通过的距离

正确答案：40 m
【易错分析】在解答本题时易犯错误具体分析如下：
本题易错在受到题目设置的陷阱的影响，误认为汽车的运动时间等于题中给出的时间.将t=5 s直接代入公式：

实际上“从开始刹车经过5 s”是一个“陷阱”，即刹车时间是否是5 s？若汽车在5 s内早已停止，则刹车时间t＜
5 s.汽车刹车过程中，汽车做匀减速直线运动，但当汽车停止运动后，加速度就消失，故题中给出的时间内汽车是否一直做减速运动还需要判定.
1.某质点的位移随时间变化规律的关系是x=4t+4t2,x与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是（ ）
A.v0=4 m/s，a=4 m/s2
B.v0=4 m/s，a=8 m/s2
C.2 s内的位移为24 m
D.2 s末的速度为24 m/s
【解析】选B、C.由匀变速直线运动的位移与时间的关系式
对比x=4t+4t2,得出v0=4 m/s,a=8 m/s2,A错，B正确；将2 s代入x=4t+4t2得x=24 m，C正确；2 s末的速度v=v0+at=4 m/s+8×2 m/s=20 m/s，D错误.
2.一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过 的位移所用的时间为
（ ）
A. B. C. D.
【解析】选B.由位移公式得 所以
故 B正确.
3.(2011·龙岩高一检测)如图是一辆汽车做直线运动的x-t图象,对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动,下列说法正确的是（ ）
A.OA段运动速度最大
B.AB段物体做匀速运动
C.CD段的运动方向与初始运动方向相反
D.运动4 h汽车的位移大小为30 km
【解析】选C.由图象斜率可以求得OA、BC、CD段的速度分别为 CD段的速度为
负号表示CD段的速度与OA、BC段的速度方向相反.AB段静止,故CD段汽车的速度最大,A、B错，C对；4 h内汽车的位移为零,D错.
4.（2011·扬州高一检测）从静止开始做匀加速直线运动的物体,第1 s内通过的位移为0.3 m,则（ ）
A.第1 s末的速度为0.3 m/s
B.第2 s内通过的位移是1.2 m
C.加速度为0.6 m/s2
D.前2 s内的平均速度是1.2 m/s
【解析】选C.由 得物体的加速度
C对;故第1 s末的速度v1=at1=0.6 m/s，A错;第2 s内的位移
B错;前2 s内的平均速度等于
第1 s末的速度0.6 m/s,D错.
5.一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过6秒停下来.求汽车开始减速4秒内前进的距离.
【解析】汽车的加速度a=-2 m/s2 ,刹车时的速度
v0=0-(-2)×6 m/s=12 m/s
故汽车开始减速4秒内前进的距离

答案：32 m
一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
1.一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是
（ ）
A.物体的末速度一定与时间成正比
B.物体的位移一定与时间的平方成正比
C.物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比
D.若为匀加速运动，位移随时间增加，若为匀减速运动，位移随时间减小
【解析】选C.由匀变速直线运动的速度公式v=v0+at可知，只有 时，物体的末速度才与时间成正比，故A错；由位移公式 可知，只有v0=0时，其位移才与时间的平方成正比，故B错；由Δv=a·Δt可知，匀变速直线运动的物体速度的变化与时间成正比，故C正确；若为匀加速运动，位移与速度方向相同，位移随时间的延长而增加，若为匀减速运动，位移与速度方向仍然相同，位移随时间的延长仍是增加的，故D错.
2.一物体做匀加速直线运动，某时刻速度为6 m/s，1 s后速度为10 m/s.在这1 s内该物体的（ ）
A.位移的大小为8 m
B.位移的大小为10 m
C.加速度的大小一定为4 m/s2
D.加速度的大小一定为16 m/s2
【解析】选A、C.物体的加速度
C对，D错；物体的位移 A对，B错.
3.一物体从静止开始做匀加速直线运动，下列关于该物体的位移x、速度v、加速度a与时间t关系的图象可能正确的是（ ）
【解析】选B、D.匀加速运动的加速度不变，C错；据位移公式 知，物体的位移x与时间t的二次方成正比，故A错，D对；据速度公式v=at知物体的速度v与时间t成正比，B正确.
4.(2011·焦作高一检测)汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动,刹车后的加速度大小为5 m/s2,那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A.1∶1 B.1∶3 C.3∶4 D.4∶3
【解析】选C.汽车从刹车到静止用时
故刹车后2 s和6 s内汽车的位移分别为
x1∶x2=3∶4,C选项正确.
【方法技巧】“刹车类”问题的处理方法
1.刹车类问题一般视为匀减速直线运动，汽车停下后不能做反向的运动.
2.处理该类问题，首先要判断刹车后经多长时间速度为零（即刹车时间）.
3.若所给时间大于刹车时间，可将运动过程看做反方向的初速度为零的匀加速直线运动,所用时间为刹车时间.
4.利用 求解刹车距离也非常方便.
5.汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第
4 s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达B点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是
（ ）
A.汽车在AC段与BC段的平均速度相同
B.汽车通过C点时的速度为3 m/s
C.汽车通过C点时的速度为6 m/s
D.AC段的长度为12 m
【解析】选A、C、D.设汽车在C点的速度为vC,则前4 s和后
6 s内的平均速度均为 由 得
vC=6 m/s.故A、C正确，B错误；AC段的长度
故D正确.
二、非选择题（本题共3小题，共25分）
6.(2011·龙岩高一检测)(8分)一质点做匀加速直线运动,初速度为10 m/s,加速度为2 m/s2.试求该质点:
(1)第5 s末的速度;
(2)前5 s内的平均速度;
(3)第5 s内的平均速度.
【解析】(1)根据匀变速直线运动规律得5 s末的速度为

(2)前5 s的平均速度为

(3)4 s末质点的速度为

第5 s内的平均速度为

答案:(1)20 m/s (2)15 m/s (3)19 m/s
7.(8分)已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2.一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点.已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等.求O与A的距离.
【解析】设物体的加速度为a，到达A点的速度为v0，通过AB段和BC段所用的时间为t，则有 ①
l1+l2=2v0t+2at2 ②
联立①②式得l2-l1=at2 ③
3l1-l2=2v0t ④
设O与A的距离为l，则有 ⑤
联立③④⑤式得
答案:
8.（挑战能力）（9分）一个质点从静止开始做匀加速直线运动，已知它在第4 s内的位移是14 m.求：
（1）质点运动的加速度；
（2）它前进72 m所用的时间.
【解析】(1)由位移公式 得
质点在4 s内的位移 ①
质点在3 s内的位移 ②
质点在第4 s内的位移x=x4-x3 ③
解①②③式得
(2)由
得
答案：(1)4 m/s2 (2)6 s
Thank you!