3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
1．了解位移公式的推导过程，理解公式的含义，知道位移对应v－t图象与坐标轴围成的面积．

3．了解匀速直线运动的x－t图象的意义、特点，会用它处理简单的相关问题.
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝____．
2．做匀速直线运动的物体，其v－t图象是一条平行于________的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所
包围的矩形的______．如图2－3－1所示．
图2－3－1
vt
时间轴
面积
1．某质点的位移随时间变化规律的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为
(　　)．
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0

答案　C
1．做匀变速直线运动的物体的位移对应
着v－t图象中的图线和________包围的
面积．如图2－3－2所示，在0～t时间内的位移大小等于_____的面积．
图2－3－2
时间轴
梯形
(1)公式中x、v0、a均是____，应用公式解题前应先根据正方向明确它们的正、负值．一般规定初速度的方向为正方向．
矢量
位移
A．加速度大的，其位移一定也大
B．初速度大的，其位移一定也大
C．末速度大的，其位移一定也大
D．平均速度大的，其位移一定也大

答案　D
2. 两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内(　　)．
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建立一个直角坐标系，用纵轴表示
______，用横轴表示______ ．
(1)匀速直线运动：由x＝vt可知，其位移－时间图象是一条__________ ．如图2－3－3甲、乙所示．
位移
时间
倾斜直线
图2－3－3
斜率
解析　匀速直线运动的x－t图象为倾斜直线，变速直线运动的x－t图象为曲线．
答案　ABD
3. 在下面的图象中表示匀速直线运动的有 (　　)．
由图2－3－4可知，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得．匀变速直线运动的位移公式．
图2－3－4
(1)适用条件：匀变速直线运动．
(2)矢量性
2．对公式的理解
【典例1】 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程的加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s汽车通过的距离是多少？
解析　设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．v0＝72 km/h＝20 m/s，由v＝v0＋at得
答案　40 m
汽(火)车刹车、飞机着陆等问题，物体做匀减速直线运动，停止后不再运动．这类问题的处理思路是：先求出它们从刹车到静止的刹车时间，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动公式求解．
【跟踪1】 一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然发现前方有障碍物，立即刹车，汽车以大小是5 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为 (　　)．
A．1∶1 B．3∶4
C．3∶1 D．4∶3
答案　B
1．由x－t图象可以确定物体各个时刻所对应的位移或物体发生一段位移所需要的时间．
2．若物体做匀速直线运动，则x－t图象是一条倾斜的直线，如图2－3－5 A、B所示．直线的斜率表示物体的速度，斜率的正负表示物体的运动方向．
图2－3－5
3．若x－t图象为平行于时间轴的直线，表明物体处于静止状态，如图2－3－5C所示．
4．若物体做变速直线运动，x－t图象为曲线，如图2－3－6所示，斜率逐渐增大，表明物体运动得越来越快．
【典例2】 质点沿直线运动，其位移－时间图象如图2－3－7所示，关于质点的运动，下列说法中正确的是(　　)．
A．2 s末质点的位移为零，前2 s内位
移为“－”，后2 s内位移为“＋”，所
以2 s末质点改变了运动方向
B．2 s末质点的位移为零，该时刻质点
的速度为零
图2－3－6
图2－3－7
C．质点做匀速直线运动，速度大小为0.1 m/s，方向与规定
的正方向相反
D．质点在4 s时间内的位移大小为0.4 m，位移的方向与规
定的正方向相同
解析　由所给图象可知：质点从距原点负方向0.2 m处沿规定的正方向做匀速直线运动，经4 s运动到正方向0.2 m处，在x－t图象中，“＋”号表示质点在坐标原点正方向一侧，“－”号表示质点位于原点的另一侧，与质点实际运动方向无关，位移由“－”变为“＋”并不表示质点运动方向改变．由图象的斜率可得质点运动速度大小为0.1 m/s，综上所述，选项A、B、C错误，D正确．
答案　D
x－t图象上每一点的纵坐标值就是运动物体在相应时刻的位移，这是因为在作x－t图象时就已将物体运动的起点作为了坐标系的原点．
【跟踪2】 设想百米赛跑中，甲、乙、丙、丁四个运动员从一开始就做匀速直线运动，甲按时起跑，乙0.5 s后才起跑，丙抢跑的距离为1 m，丁则从终点100 m处往回跑．试说明图2－3－8中的A、B、C、D四条图线分别表示的是哪个运动员运动的图象．
图2－3－8
解析　题图中按时起跑的是B图线，表示的是运动员甲．晚跑0.5 s的图线是D，表示的是运动员乙．抢跑1 m的图线是C，表示的是运动员丙．由终点100 m处往回跑的图线是A，表示的是运动员丁．
答案　甲—B　乙—D　丙—C　丁—A
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
(4)通过前x、前2x、前3x…时的速度比
初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系
【典例3】 如图2－3－9所示，完全相同的三块木块并排固定在水平地面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木
图2－3－9
块中所受阻力恒定，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度比和穿过每块木块所用时间比分别为 (　　)．
答案　BD
汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3 s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为________．
解析　刹车过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动．根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1 s内的位移之比为1∶3∶5，所以汽车在连续相等的三个1 s内的位移之比为5∶3∶1.
答案　5∶3∶1
【我来冲关】
对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
【状元微博】
用逆向思维法解决匀变速直线运动问题
1．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机在直跑道上加速前进的位移为1 600 m，所用的时间为40 s，假设这段运动是匀加速运动，用a表示加速度，v表示飞机离地时的速度，则 (　　)．
位移公式的应用
图2－3－10
A．a＝2 m/s2，v＝80 m/s B．a＝1 m/s2，v＝40 m/s
C．a＝2 m/s2，v＝40 m/s D．a＝1 m/s2，v＝80 m/s

答案　A
2．某物体以v0＝1.2 m/s的初速度做匀加速直线运动，在第
5 s内物体的位移为2.1 m．求物体的加速度和8 s内的位移．
答案　0.2 m/s2　16 m
3．如图2－3－11所示为甲、乙两物体运动的x－t图象，则下列说法正确的是
(　　)．
A．甲物体做变速直线运动，乙物体
做匀速直线运动
B．两物体的初速度都为零
C．在t1时间内两物体平均速度大小相等
D．相遇时，甲的速度大于乙的速度
x－t图象
图2－3－11
解析　由x－t图象形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，两物体的初速度大小不能确定，故A对、B错.0～t1时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，C对．t1时刻甲、乙相遇，根据x－t图象斜率等于速度大小的特点，v甲＞v乙，D对．
答案　ACD
4．某同学星期天上午9时，从学校骑自行车出发，沿平直公路去拜访甲、乙两名同学，下午1时结束拜访开始原路返回，下午2时回到学校，整个过程他骑车走了三段位移，其位移－时间图象如图2－3－12所示，则在这三段运动过程中，他骑车的速度分别为v1＝______，v2＝______，v3＝________．
图2－3－12
答案　15 km/h　15 km/h　－30 km/h