中考数学综合专题训练【分类讨论】精品专题解析

Ⅰ、专题精讲：
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD＝2OB＝4OA＝4，
得A（0，－1），B（－2，0），D（－4，0）．
设一次函数解析式为y＝kx＋b．　　　　　　　 点A，B在一次函数图象上，
∴
即
则一次函数解析式是　
　　　
点C在一次函数图象上，当
时，
，即C（－4，1）．
设反比例函数解析式为
．　　　　　 点C在反比例函数图象上，则
，m＝－4．故反比例函数解析式是：
．　　
点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。
【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D.
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；
（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG·A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。



解（1）直线l经过点A（－12，0），与y轴交于点（0，
），
设解析式为y＝kx＋b，则b＝
，k＝
，
所以直线l的解析式为
.
（2）可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。
在5秒内直线l平移的距离计算：8＋12－
＝30－
，
所以直线l平移的速度为每秒（6－
）个单位。
（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O2
于是可得：

所以FG·A O2＝
，即其值不变。
点拨：因为⊙O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．
【例3】（2005，衢州，14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．
(1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．


解：(1)过点A、c直线的解析式为y=
x－

(2)抛物线y=ax2－5x+4a．
∴顶点N的坐标为(－，－a)．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，
又点N在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．
(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x
在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF= 




【例4】（2005，杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)
解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得
和
；
以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得
，
，
和
；作OA的垂直平分线交坐标轴得
和
。



点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．

Ⅲ、同步跟踪配套试题
（60分 45分钟）
一、选择题（每题 3分，共 15分）
1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（ ）
A．500 ，80o B．650， 650
C．500 ，650 D．500，800或 650，650
2．若

A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1
3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定
4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500
5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则kb值为（ ）
A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14
二、填空题（每题3分，共15分）
6．已知
_______.
7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.
8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为__________.
9．已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________.
10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则
的值是______.
三、解答题（每题10分，共30分）
11 已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
12 解关于x的方程
．

13 已知：如图3－2－8所示，直线
切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线
上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？

Ⅳ、同步跟踪巩固试题
（10分 60分钟）
一、选择题（每题4分，共20分）
1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18
2．已知
的值为（ ）


3．若
值为（）
A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或0
4．若直线
与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ）


5．在同一坐标系中，正比例函数
与反比例函数
的图象的交点的个数是（ ）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
二、填空题（每题4分，共24分）
6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．
7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．
8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．
9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．
10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．
11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.
三、解答题（56分）
12．（8分）化简
.
13．（9分）抛物线
与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．

14．（13分）已知关于 x的方程
.
⑴ 当k为何值时，此方程有实数根；
⑵ 若此方程的两实数根x1，x2满足
，求k的值．

15．(13分)抛物线
经过点A (1，0)．
⑴ 求b的值；
⑵ 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．


16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．