一、选择题(每小题6分，共30分)
1.(2010·东阳中考)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )
(A)40° (B)100°
(C)40°或100° (D)70°或50°
【解析】选C.40°若是底角，则顶角为180°-40°×2=100°,
40°为顶角亦满足题意.
2.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为( )

【解析】选B.∵∠B=60°,
∴∠BAP+∠APB=120°.
∵∠APD=60°,∴∠CPD+∠APB=120°,
∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,

∵AB=3,BP=1,PC=2,∴CD= .
3.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
(A)5个 (B)4个
(C)3个 (D)2个
【解析】选A.因为AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠ACB=72°.
由BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=36°,
所以△ABC、△BCD、△ABD、△BCE、△DCE都为等腰三角形.
4.(2010·临沂中考)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为
( )

【解析】选D.过点D作DF⊥CE于点F，在Rt△BDF中，DF= ,BF=6,所以BD= .
5.如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2 008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是
( )
(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011
【解析】选C.第一个四边形由两个三角形组成，周长为4；第二个四边形由三个三角形组成，周长为5；第三个四边形由四个三角形组成，周长为6；…第n个四边形的周长为n+3，所以由2 008个三角形组成的四边形的周长为2 010.
二、填空题(每小题6分，共24分)
6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC-BD,则
∠B∶∠C的值是_____.
【解析】延长AB至E,
使AE=AC,连结DE,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AD=AD,∴△AED≌△ACD,∴∠E=∠C.
∵AB=AC-BD,∴AB=AE-BD=AB+BE-BD.
∴BE=BD,∴∠E=∠BDE,∴∠ABC=∠E+
∠BDE=2∠E=2∠C.即∠ABC∶∠C=2∶1.
答案：2∶1
7.在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_____个.
【解析】如图，以O为圆心，OA为半径作圆
交x轴于E、B，E、B可以为P；以A为圆心，
AO为半径作圆交x轴于C,则C可以为P；作OA
的中垂线交x轴于D.则D可以为P.所以符合条件的点P共4个.
答案：4
8.如图,在等边△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=CE,则∠BCD+∠CBE=_____度.
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
又∵AD=CE,∴△ACD≌△CBE,
∴∠ACD=∠CBE,
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠BCA=60°.
答案：60
9.(2010·广安中考)小敏将一张直角边为1的等腰直角三角形纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____；同上操作，若小敏连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(如图n+1)的一条腰长为_____.
【解析】第1次折叠，即图2的一条腰长是 ，第2次折叠，
即图3的一条腰长是( )2，第3次折叠，即图4的一条腰长是
( )3，以此类推，第n次折叠后的等腰直角三角形的一条腰
长是( )n.
答案：
三、解答题(共46分)
10.(10分)(2010·聊城中考)如图，在
等边△ABC中，点D是BC边的中点，以
AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形.
【解析】(1)在等边△ABC中，∵点D是BC的中点，
∴∠DAC=30°，
又∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
(2)由(1)知，∠EAF=90°，由F为AB的中点知∠CFA=90°,
∴CF∥EA，在等边△ABC中，CF=AD，
在等边△ADE中，AD=EA,
∴CF=EA，∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵∠CFA=90°，所以四边形AFCE是矩形.
11.(12分)如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
(1)求证：EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.
【解析】(1)∵CF平分∠ACB,
∴∠1=∠2.
又∵DC=AC,
∴CF是△ACD的中线，
∴点F是AD的中点.
∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD,即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD,∴
12.(12分)(2010·乌鲁木齐中考)如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF;
(2)若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
(2)由△ABE≌△CDF,得AE=CF,
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC,
∴DE∥BF,DE=BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形.
13．(12分)如图，等边三角形ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE=EB.设EC=x(0＜x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条
线段(不再另外添加辅助线)；
(2)Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是
平行四边形时,求 EFPQ的面积(用含x的代数式表示)；
(3)当(2)中的 EFPQ面积最大时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时 EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围.
【解析】(１)BE、PE、BF三条线段中任选两条．
(２)在Rt△CHE中，
∠CHE＝90°，
∠Ｃ＝60°，∴ＥH＝ x.
∵PQ=EF=BE=4-x,
∴当x＝２时， 有最大值．
此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、点Q重合.
∴平行四边形EFPQ是菱形．
过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于D，
∴ＥD＝ＥH＝ ．
∴当⊙E与 四条边交点的总个数是２个时，
０＜r＜ ；
当⊙E与 四条边交点的总个数是４个时，
r＝ ；
当⊙E与 四条边交点的总个数是６个时，
＜r＜２；
当⊙E与 四条边交点的总个数是３个时，
r＝２；
当⊙E与 四条边交点的总个数是０个时，
r＞２．