中考数学总复习
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.(2010·毕节中考)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是( )

【解析】选C.
2．(2010·成都中考)把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为( )
(A)y=x2+1 (B)y=(x+1)2
(C)y=x2-1 (D)y=(x-1)2
【解析】选D.根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，“左加右减”，故选D.
3.(2010·济南中考)二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
(A)x＜-1 (B)x＞2
(C)-1＜x＜2 (D)x＜-1或x＞2
【解析】选C.由图象观察可得.
4.(2010·遵义中考)如图，两条抛物线y1=- x2+1、y2=- x2
-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成
的阴影部分的面积为( )

(A)8 (B)6 (C)10 (D)4
【解析】选A.由图知y2可由y1向下平移2个单位得到，故阴影部分的面积为2×4=8.
5.(2010·台州中考)如图，点A，B的坐标
分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线y=a(x-m)2
+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、
D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值
为-3，则点D的横坐标最大值为( )
(A)-3 (B)1 (C)5 (D)8
【解析】选D.顶点在A处时点C的横坐标最小，此时D的横坐标是5，当顶点在B处时，点D的横坐标最大.
二、填空题(每小题6分，共24分)
6.(2010·金华中考)若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=_____.

【解析】根据二次函数图象的对称性可得.
答案：-1
7．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一
个交点A在点(-2，0)和(-1，0)之间(包
括这两点)，顶点C是矩形DEFG上(包括边
界和内部)的一个动点，则
(1)abc______0(填“＞”或“＜”)；
(2)a的取值范围是_____.
【解析】(1)根据图象判断a,b,c的符号知abc<0;
(2)根据顶点C的变化范围，求得
答案：(1)＜ (2)
8.(2010·镇江中考)已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为_____.
【解析】式子可变形为x+y=-x2-2x+3，利用配方法或公式法可求得-x2-2x+3=-(x2+2x+1)+4=-(x+1)2+4.
即：x+y的最大值为4.
答案：4
9.(2010·兰州中考)如图，小明的父亲在
相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小
明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距
地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物
线状，身高1米的小明距较近的那棵树
0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_____米.
【解析】建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式，再根据解析式求出最值.
答案：
三、解答题(共46分)
10．(10分)用长为12 m的篱笆，一边利用
足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的
苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，
∠C=∠D=∠E．设CD=DE=x m，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．
【解析】连结EC，作DF⊥EC，垂足为F.
∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE=∠DEA
=120°.
∵DE=CD,∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEA=∠ECB=90°，
∴四边形EABC为矩形，又∵DE=x，
∴AE=6-x，DF= x，EC= x，
11.(12分)(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)
解析：(1)由题意，得：w=(x-20)·y
=(x-20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10 000- =35.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
(2)由题意，得：-10x2+700x-10 000=2 000
解这个方程得：x1=30，x2=40．
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
(3)方法一：∵a=-10＜0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2 000．
设成本为P(元)，由题意，得：
P=20×(-10x+500)
=-200x+10 000
∵k=-200＜0，
∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时，P最小＝3 600.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为3 600元．
方法二：∵a=-10＜0,
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32,
∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500,k=-10＜0,
∴y随x的增大而减小.
∴当x=32时，y最小=180.
∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为3 600元．
12．(12分)(2010·眉山中考)如图，Rt△ABO的两直角边OA、
OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B
两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y= x2+bx+c经
过B点，且顶点在直线x= 上．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD
是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数解析式，并求l取最大值时，点M的坐标．
【解析】(1)由题意，可设所求抛物线对应的函数解析式为
∴所求函数解析式为：
(2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)．
当x=5时，y= ×52- ×5+4=4，
当x=2时，y= ×22- ×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上．
(3)设直线CD对应的函数解析式为y=kx+b，

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
13．(12分)如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1．
(1)求P点坐标及a的值；
(2)如图(1)，抛物线C2与抛物线C1关
于x轴对称，将抛物线C2向右平移，
平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为
M，当点P、M关于点B成中心对称时，
求C3的解析式；
(3)如图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
【解析】(1)由抛物线C1：y=a(x+2)2－5得顶点P的坐标为
(-2，-5)，
∵点B(1，0)在抛物线C1上，
∴0=a(1+2)2－5，解得，a＝ .
(2)如图(1)连结PM，作PH⊥x轴于H，
作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点B成中心对称，
∴PM过点B，且PB＝MB，
∴△PBH≌△MBG，∴MG＝PH＝5，
BG＝BH＝3，
∴顶点M的坐标为(4，5).
抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，
∴抛物线C3的解析式为y=－ (x－4)2+5.
(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由(2)得点N的纵坐标为5.
设点N坐标为(m，5),
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G,
作PK⊥NG于K.
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF＝AB＝2BH＝6，
∴FG＝3，
点F坐标为(m+3，0)，
H坐标为(-2，0)，
K坐标为(m，-5)，
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，
NF2＝52+32＝34.
①当∠PNF＝90°时，PN2+NF2＝PF2，
解得m＝ ，∴Q点坐标为( ，0);
②当∠PFN＝90°时，PF2+NF2＝PN2，
解得m＝ ，∴Q点坐标为( ，0);
③∵PN＞NK＝10＞NF，
∴∠NPF≠90°.
综上所得，当Q点坐标为( ，0)或( ，0)时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．