第32讲　轴对称与中心对
第33讲　平移与旋转
第34讲 投影与视图
第七单元 几何变换、投
影与视图
第七单元 几何变换、投影
与视图数与式
第32讲┃轴对称与中心对
第32讲 轴对称与中心对
第32讲┃ 考点聚焦
考点1 轴对称与轴对称图形
重合
轴对称图形
两个
一个
第32讲┃ 考点聚焦
垂直平分
相等
对称轴
全等
第32讲┃ 考点聚焦
考点2 中心对称与中心对称图形
180°
重合
对称中心
180°
对称中心
第32讲┃ 考点聚焦
平分
全等
第32讲┃ 归类示例
►　类型之一　轴对称图形与中心对称图形的概念
命题角度：
1. 轴对称的定义，轴对称图形的判断；
2. 中心对称的定义，中心对称图形的判断．
B
例1 [2012·丽水] 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
图32－1
第32讲┃ 归类示例
[解析] 如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
第32讲┃ 归类示例
(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；
(2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形．
►　类型之二　图形的折叠与轴对称
命题角度：
图形的折叠与轴对称的关系．
第32讲┃ 归类示例
C
第32讲┃ 归类示例
图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两个部分全等．
第32讲┃ 归类示例
► 类型之三 轴对称与中心对称有关的作图问题
例3 [2012·广州] 如图32－3，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；
(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．
第32讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 利用轴对称的性质作图；
2. 利用中心对称的性质作图；
3. 利用轴对称或中心对称的性质设计图案．
第32讲┃ 归类示例
图32－3
第32讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答；
(2)设直线PP′与MN相交于点Q，在Rt△QP′N中，利用勾股定理求出QN的长度，在Rt△QPN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度．
第32讲┃ 归类示例
此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标特征求出对称点的坐标．
第32讲┃ 归类示例
第32讲┃ 回归教材
“输气管线路最短”问题的拓展创新
教材母题　人教版八上P42探究
如图32－4，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
图32－4
第32讲┃ 回归教材
[解析] 把管道l近似地看成一条直线，问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小．
解：略．
[点析] 平面图形上求最短距离有两种情况：
(1)若A、B在l的同侧，则先作对称点，再连接；
(2)若A、B在l的异侧，则直接连接．
第32讲┃ 回归教材
[2010淮安] (1)观察发现
如图32－5，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP＋BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P；
再如图32－6，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为________
第32讲┃ 回归教材
(2)实践运用
如题图32－7，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值；(1)观察发现
图32－5　　　　　　　图32－6
图32－7　　　　　图32－8
第32讲┃ 回归教材
(3)拓展延伸
如图32－8，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法．
第32讲┃ 回归教材
第32讲┃ 回归教材
(3)如图，找B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于点P即可．
第33讲┃平移与旋转
第33讲 平移与旋转
第33讲┃ 考点聚焦
考点1 平移
方向
距离
相等
平行且相等
相等
全等
第33讲┃ 考点聚焦
考点2 旋转
旋转中心
旋转角
相等
旋转角
全等
第33讲┃ 归类示例
►　类型之一　图形的平移
命题角度：
1. 平移的概念；
2. 平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系．
C
例1 [2012·义乌]如图33－1，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为(　　)
A．6
B．8
C．10
D．12
图33－1
第33讲┃ 归类示例
[解析] 将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC.
又∵AB＋BC＋AC＝8，
∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10
第33讲┃ 归类示例
利用“平移前后的两个图形全等”，“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．
►　类型之二　　图形的旋转
命题角度：
1. 旋转的概念；
2. 求旋转中心、旋转角；
3. 求旋转后图形的位置和点的坐标．
第33讲┃ 归类示例
例2 [2012·南充] 在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
(1)求证：MA＝MB；
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值？若不存在，请说明理由．
第33讲┃ 归类示例
图33－2
第33讲┃ 归类示例
[解析] (1)连接OM，证明△AMO ≌△BMQ.
(2)设OA＝x，利用勾股定理列式求出AB，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值．
第33讲┃ 归类示例
(1)求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可；(2)旋转不改变图形的大小，旋转前后的两个图形全等．
第33讲┃ 归类示例
► 类型之三 平移、旋转的作图
第33讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 平移作图；
2. 旋转作图；
3. 平移、旋转的综合作图．
图33－3
(0，0)
90
第33讲┃ 归类示例
[解析] (1)由图形可知，对应点的连线CC1、AA1的垂直平分线过点O，点O即为旋转中心，再根据网格结构，观察可得旋转角为90°；
(2)利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连接即可；
(3)利用面积，根据正方形CC1C2C3的面积等于正方形AA1A2B的面积加上△ABC的面积的4倍，列式计算即可得证．
第33讲┃ 归类示例
解：(1)(0，0)　90
(2)画出图形如图所示．
(3)由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．
∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC, ∴(a＋b)2＝c2＋4×0.5ab，
a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2.
求一个图形旋转后、平移后的图形的某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号．
第33讲┃ 归类示例
第33讲┃ 回归教材
旋转解全等妙不可言
教材母题　人教版九上P61习题T10
如图33－4，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
图33－4
第33讲┃ 回归教材
解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°.
同理AE＝AC，∠EAC＝60°.
∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，
∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.
第33讲┃ 回归教材
[点析] 旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．
第33讲┃ 回归教材
1．[2010·绥化] 如图33－5所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
图33－5
D
第33讲┃ 回归教材
2．[2010·内江] 如图33－6，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H.
试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
图33－6
第33讲┃ 回归教材
解：猜测 AE＝BD，AE⊥BD.
理由如下：
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB.
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.
∵∠AFC＝∠DFH，
∴∠DHF＝∠ACD＝90°，
∴AE⊥BD.
第34讲┃投影与视图
第34讲 投影与视图
第34讲┃ 考点聚焦
考点1 投影的基本概念
平行
垂直
第34讲┃ 考点聚焦
考点2 物体的三视图
第34讲┃ 考点聚焦
第34讲┃ 考点聚焦
考点3 立体图形的展开与折叠
第34讲┃ 考点聚焦
第34讲┃ 归类示例
►　类型之一　投影
命题角度：
1. 中心投影的应用；
2. 平行投影的应用．
A
例1 [2012·南昌]如图34－1，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是(　　)
A．南偏西60° B．南偏西30°
C．北偏东60° D．北偏东30°
图34－1
第33讲┃ 归类示例
[解析] 由于人相对于太阳与太阳相对于人的方位正好相反，
又∵在阳光下你的身影的方向是北偏东60°，
∴太阳相对于你的方向是南偏西60°.
►　类型之二　　几何体的三视图
命题角度：
1. 已知几何体，判定三视图；
2. 由三视图，想象几何体．
第34讲┃ 归类示例
例2 [2012·南充]下列几何体中，俯视图相同的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
图34－2
C
第34讲┃ 归类示例
[解析] ①的三视图中俯视图是圆，但无圆心；
②③的俯视图都是圆，有圆心，故②③的俯视图是相同的；
④的俯视图是圆环．
三个视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到的平面图形，要注意用平行光去看．画三个视图时应注意尺寸的大小，即三个视图的特征：主视图(从正面看)体现物体的长和高，左视图体现物体的高和宽，俯视图体现物体的长和宽.
第34讲┃ 归类示例
► 类型之三 根据视图判断几何体的个数
第34讲┃ 归类示例
命题角度：
由三视图确定小正方体的个数．
图34－3
例3 [2011·济宁] 如图34－3，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
B
第34讲┃ 归类示例
[解析] 从主视图来看，各个位置的小正方体个数用1，2表示；从左视图来看，各个位置的小正方体个数用①②表示，在同一方格中取最小的数即为该位置正方体的个数，为2＋1＋1＝4.
由三视图确定小正方体的个数，求解时先根据左视图和主视图，在俯视图中标出每个位置上小立方块的个数，便可得到组成的小单元——正方体的个数．
第34讲┃ 归类示例
► 类型之四 根据视图求几何图形的表面积和体积
第34讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 由三视图确定出实物的形状和结构；
2. 由部分特殊视图确定出实物的形状和结构．
图34－4
例4 [2012·临沂 ]如图34－4是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是(　　)
A．18 cm2
B．20 cm2
C．(18＋2√3)cm2
D．(18＋4√3)cm2
A
第34讲┃ 归类示例
[解析] 根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，
底边边长为2 cm，侧棱长是3 cm，
所以侧面积是：(3×2)×3＝6×3＝18(cm2)．
由物体的三视图求几何体的侧面积、表面积、体积等，关键是由三视图想象出几何体的形状．
第34讲┃ 归类示例
► 类型之五 图形的展开与折叠
第34讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 正方体的表面展开与折叠；
2. 圆柱、棱柱的表面展开与折叠．
图34－5
例5 [2012·德州 ]如图34－5给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是(　　)
B
图34－6
第34讲┃ 归类示例
常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．
第34讲┃ 归类示例
第34讲┃ 回归教材
由三视图求物体的表面积
教材母题　人教版九下P114例6
某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(图34－7)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．
图34－7
第33讲┃ 回归教材
[解析] 对于某些立体图形，沿着其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图．实际的生产中，三视图和展开图往往结合在一起使用．解决本题的思路是，由三视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积．
第34讲┃ 回归教材
图34－8
图34－9
第34讲┃ 回归教材
[2010·泰安] 如图34－10是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是(　　)
A．36π B．60π
C．96π D．120π
图34－10
C