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第28讲 圆的有关性
第29讲 直线与圆的位置关系
第30讲 圆与圆的位置关系
第31讲 正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题
第六单元 圆
中考数学总复习
第六单元 圆
第28讲┃圆的有关性
第28课时 圆的有关性质
第28讲┃ 考点聚焦
考点1 圆的有关概念
第28讲┃ 考点聚焦
线段
第28讲┃ 考点聚焦
考点2 点和圆的位置关系
d>r
d=r
d考点3 确定圆的条件及相关概念
第28讲┃ 考点聚焦
垂直平分线
考点4 圆的对称性
第28讲┃ 考点聚焦
圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．
中心
考点5 垂径定理及其推论
第28讲┃ 考点聚焦
平分弦
考点6 圆心角、弧、弦之间的关系
第28讲┃ 考点聚焦
弧
弦
考点7 圆周角
第28讲┃ 考点聚焦
相等
一半
相等
直角
直径
直角
考点8 圆内接多边形
第28讲┃ 考点聚焦
对角互补
考点9 反证法
第28讲┃ 考点聚焦
第28讲┃ 归类示例
► 类型之一 确定圆的条件
命题角度：
1. 确定圆的圆心、半径；
2. 三角形的外接圆圆心的性质．
10或8
例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．
第28讲┃ 归类示例
第28讲┃ 归类示例
(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
► 类型之二 垂径定理及其推论
命题角度：
1. 垂径定理的应用；
2. 垂径定理的推论的应用．
第28讲┃ 归类示例
例2 [2012·台州] 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图28－1所示，已知EF＝CD＝16厘米，则球的半径为________厘米．
图28－1
10
第28讲┃ 归类示例
[解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的中点O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，
即(16－x)2＋82＝x2，
解得x＝10.
垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
第28讲┃ 归类示例
► 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系
例3 [2011·济宁] 如图28－2，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
第28讲┃ 归类示例
命题角度：
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
图28－2
第28讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.
解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴BD＝CD.∴BD＝CD.
(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.
由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
► 类型之四 圆周角定理及推论
D
命题角度：
1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；
2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．
第28讲┃ 归类示例
例4 [2012·湘潭] 如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )
A. 20° B. 40°
C. 50° D. 80°
图28－3
[解析] 先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.
第28讲┃ 归类示例
圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．
第28讲┃ 归类示例
► 类型之五 与圆有关的开放性问题
命题角度：
1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由；
2. 给定一个圆，添加条件并说明理由．
第28讲┃ 归类示例
例5 [2012·湘潭] 如图28－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝0.5AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．
图28－4
(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；
(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；
(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
第28讲┃ 归类示例
第28讲┃ 归类示例
[解析] (1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝0.5AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数
第28讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠D＝90°.
又∵∠CAB＝∠DPC，
∴△PCD∽△ABC.
(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.
理由如下：∵PC为直径，
∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，
∴PC＝AB，CD＝BC，
故△PCD≌△ABC.
(3) ∵AC＝0.5AB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.
∴∠CPB＝∠CAB＝60°.
∵PC⊥AB，
∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，
∴△PBC为等边三角形．
又CD⊥PB，
∴∠BCD＝30°.
第29讲┃直线与圆的位置关系
第29课时 直线与圆的位置关系
第29讲┃ 考点聚焦
考点1 直线和圆的位置关系
dd=r
d>r
第29讲┃ 考点聚焦
考点2 圆的切线
垂直于
切点
圆心
唯一
半径
垂直于
考点3切线长及切线长定理
第29讲┃ 考点聚焦
相等
平分
考点4 三角形的内切圆
第29讲┃ 考点聚焦
三条角平分线
距离
第29讲┃ 考点聚焦
第29讲┃ 归类示例
► 类型之一 直线和圆的位置关系的判定
命题角度：
1. 定义法判定直线和圆的位置关系；
2. d、r比较法判定直线和圆的位置关系．
D
例1 [2012·无锡]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相离或相切 D．相切或相交
第29讲┃ 归类示例
[解析] 分OP垂直于直线l，OP不垂于直线l两种情况讨论．
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d<2＝r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
第29讲┃ 归类示例
在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．
► 类型之二 圆的切线的性质
命题角度：
1. 已知圆的切线得出结论；
2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．
第29讲┃ 归类示例
例2 [2012·湛江]如图29－1，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
图29－1
第29讲┃ 归类示例
[解析] (1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证；
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．
解：(1)证明： 连接OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.
又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC.
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2，
∵BE＝2，BD＝4, ∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2，
即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，
故⊙O的半径为3.
第29讲┃ 归类示例
“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．
第29讲┃ 归类示例
► 类型之三 圆的切线的判定方法
例3 [2012·临沂 ]如图29－2，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)求PD的长．
第29讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；
2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
图29－2
第29讲┃ 归类示例
[解析] (1)首先连接OA，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，利用等边对等角求得∠PAO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；
(2)由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．
第29讲┃ 归类示例
第29讲┃ 归类示例
变式题 [2011·安顺] 已知：如图29－3，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
图29－3
第29讲┃ 归类示例
[解析] (1)连接CD，利用等腰三角形底边上的高也是底边上中线证明．
解：(1)证明：连接CD，因为BC为⊙O的直径，
则CD⊥AB.∵AC ＝ BC，∴AD ＝ BD，即点D是AB的中点．
(2)DE是⊙O的切线 .
证明：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线．
在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
第29讲┃ 归类示例
► 类型之四 切线长定理的运用
命题角度：
1. 利用切线长定理计算；
2. 利用切线长定理证明．
第29讲┃ 归类示例
例4 [2012·绵阳]如图29－4，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
图29－4
[解析] (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
第29讲┃ 归类示例
第29讲┃ 归类示例
(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
第29讲┃ 归类示例
► 类型之五 三角形的内切圆
命题角度：
1. 三角形的内切圆的定义；
2. 求三角形的内切圆的半径．
第29讲┃ 归类示例
例5 [2012·玉林]如图29－5，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为( )
图29－5
C
第29讲┃ 归类示例
[解析] 连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE, Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C.
解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
第29讲┃ 归类示例
第30讲┃圆与圆的位置关系
第30课时 圆与圆的位置关系
第30讲┃ 考点聚焦
考点1 圆和圆的位置关系
d>R＋r
d＝R＋r
R－rd＝R－r
d第30讲┃ 考点聚焦
考点2 相交两圆的性质
考点3 相切两圆的性质
第30讲┃ 考点聚焦
切点
第30讲┃ 归类示例
► 类型之一 圆和圆的位置关系的判别
命题角度：
1. 根据两圆的公共点的个数确定；
2. 根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定．
D
例1 [2012·上海] 如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的关系是( )
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
[解析] ∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，
又∵6－2＝4，4＞3，
∴这两个圆的位置关系是内含．
► 类型之二 和相交两圆有关的计算
命题角度：
1. 相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系；
2. 和勾股定理有关的计算．
第30讲┃ 归类示例
例2 [2012·宜宾]如图30－1，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2, ⊙O2的半径r2＝√2，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB分别交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E.
图30－1
第30讲┃ 归类示例
第30讲┃ 归类示例
► 类型之三 和相切两圆有关的计算
例3 (1)计算：如图30－2①，直径为a的三等圆⊙O1 、⊙O2 、⊙O3 两两外切，切点分别为A、B、C ，求O1 A的长(用含a的代数式表示)；
第30讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 相切两圆的性质；
2. 两圆相切的简单应用．
图30－2 ①
第30讲┃ 归类示例
图30－2
(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图30－2②所示的方案一和如图30－2③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n、a的代数式表示)；
第30讲┃ 归类示例
(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(√3≈1.73)
第30讲┃ 归类示例
第30讲┃ 归类示例
第31讲┃正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题
第31课时 正多边形、扇形的面
积、圆锥的计算问题
第31讲┃ 考点聚焦
考点1 正多边形和圆
中心
半径
中心角
边心距
第31讲┃ 考点聚焦
第31讲┃ 考点聚焦
考点2 圆的周长与弧长公式
2πR
考点3 扇形的面积公式
第31讲┃ 考点聚焦
考点4 圆锥的侧面积与全面积
第31讲┃ 考点聚焦
第31讲┃ 考点聚焦
半径
母线
周长
πra
第31讲┃ 归类示例
► 类型之一 正多边形和圆
命题角度：
1. 正多边形和圆有关的概念；
2. 正多边形的有关计算．
A
例1 [2012·安徽] 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图31－1所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
第31讲┃ 归类示例
圆的内接正多边形的每条边所对的圆心角都相等，并且所对圆心角的和是360°.
第31讲┃ 归类示例
► 类型之二 计算弧长
命题角度：
1．已知圆心角和半径求弧长；
2．利用转化思想求弧长．
第31讲┃ 归类示例
例2 [2012·广安]如图31－2，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
图31－2
第31讲┃ 归类示例
[解析] 根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．
第31讲┃ 归类示例
► 类型之三 计算扇形面积
例3 [2012·泰州] 如图31－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.
(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算) .
第31讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；
2. 已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．
第31讲┃ 归类示例
图31－3
[解析] (1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；
(2)将△ABC向下平移4个单位，AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位，AC所扫过的面积是从3为底，以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心，以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积．
第31讲┃ 归类示例
第31讲┃ 归类示例
变式题 [2010·新疆] 圆心角都是90°的扇形AOB与扇形COD如图31－4所示那样叠放在一起，连接AC、BD.
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若AO＝3 cm，OC＝1 cm，求阴影部分的面积．
图31－4
第31讲┃ 归类示例
[解析] (1)把△AOC旋转到△BOD，可知这两个三角形全等；(2)把阴影面积化为两个扇形面积的差．
求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．
第31讲┃ 归类示例
► 类型之四 和圆锥的侧面展开图有关的问题
命题角度：
1. 圆锥的母线长、底面半径等计算；
2. 圆锥的侧面展开图的相关计算．
第31讲┃ 归类示例
例4 [2012·宁波]如图31－5，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为( )
图31－5
D
第31讲┃ 归类示例
► 类型之五 用化归思想解决生活中的实际问题
命题角度：
1. 用化归思想解决生活中的实际问题；
2. 综合利用所学知识解决实际问题．
第31讲┃ 归类示例
例5 [2012·山西] 如图31－6是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )
图31－6
C
第31讲┃ 归类示例
第31讲┃ 归类示例
