分类讨论
中考数学总复习
一. 数学思想方法的三个层次:
分类讨论思想
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
分类讨论思想
分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。
分类的思想随处可见，既有概念的分类：如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；又有解题方法上的分类，如代数式中含有字母系数的方程、不等式；还有几何中图形位置关系不确定的分类，等腰三角形的顶角顶点不确定、相似三角形的对应关系不确定等。
一.与概念有关的分类
1. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是
-3≤x≤ 6，，相应的函数值的取值范围是
-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
解析式为 Y= x-4, 或 y=- x-3
2. 函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。
二.图形位置的分类
如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｏ
Ｄ
150°
⌒
Ｃ
a
Ｅ
Ｆ
Ｈ
探索题1:
探索题２:
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与
三角形的两顶点构成等腰三角形！
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
（分类讨论）
3. 如图，直线AB经过圆O的圆心，与圆O交于A、B两点，点C在O上，且∠AOC=300，点P是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问点P在直线AB的什么位置时，QP=QO？这样的点P有几个？并相应地求出∠OCP的度数。
解：∵OQ=OC，OQ=QP ∴∠OQC=∠OCQ，∠QOP=∠QPO 设∠OCP=x0 , 则有：
4．在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是 、 ，
则∠BAC的度数是 。
C
A
B
C
6．在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？
7.半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？
8、在一张长为9厘米，宽为8厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为5厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？
解：分三种情况计算：
⑴当AE=AF=5厘米时（图一）
⑵当AE=EF=5厘米时（图2）
∴
⑶当AE=EF=5厘米时（图3）
∴
三.与相似三角形有关的分类
9.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜x＜6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；
提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、
A、P为顶点的三角形与ABC相似？
解：对于任何时刻t，AP=2t,DQ=t,　QA=6－ｔ，当ＱＡ=AP时，△QAP为等腰直 角三角形，即6－t=2t,解得t=2（秒）
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞　１）与ｘ轴交于点Ｄ。
（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
（２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ　＞　１）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
当 △ PDB ∽ △ COB时，
有P（m, 2m－2）；
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，
AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。　　　　　　　　（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求
（3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

的正切值；
(4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）如图1所示，过点P作　　　，
垂足为M，则四边形PDCM为矩形。

Ｏ
图１
图２
Ｅ
图1