第1讲　实数的有关概念
第2讲　实数的运算与实数的大小比较
第3讲　整式及因式分解
第4讲　分式
第5讲　数的开方及二次根式
第一单元 数与式
中考数学总复习
第1讲 实数的有关概念
第1讲┃ 实数的有关概念
第1讲┃ 考点聚焦
1．按定义分类：
考点1 实数的概念及分类
有理数
整数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
零
正整数
正分数
负整数
负分数
第1讲┃ 考点聚焦
第1讲┃ 考点聚焦
考点2 实数的有关概念
原点
正方向
单位长度
符号
乘积
第1讲┃ 考点聚焦
距离
a×10n
考点3 非负数
第1讲┃ 考点聚焦
第1讲┃ 归类示例
►　类型之一　实数的概念及分类
命题角度：
1．有理数与无理数的概念；
2．实数的分类．
C
[解析] ＝2是有理数，cos45°＝是无理数．故无理数有 ，π，cos45°共三个．
例1
第1讲┃ 归类示例
对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°也不是无理数，一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．
例2 填空题：
(1)相反数等于它本身的数是_________；
(2)倒数等于它本身的数是_____________；
(3)平方等于它本身的数是_____________；
(4)平方根等于它本身的数是______________；
(5)绝对值等于它本身的数是__________________．
►　类型之二　实数的有关概念
命题角度：
1．数轴、相反数、倒数等概念；
2．绝对值的概念及计算．
0
0或1
非负数
0
±1
第1讲┃ 归类示例
(1)求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．
(2)一个负数的绝对值等于它的相反数．反过来，一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数．
(3)解绝对值和数轴的有关问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．
第1讲┃ 归类示例
► 类型之三 科学记数法
例3 [2012·绵阳] 绵阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学计数法表示为( )
A．31.7×109元 B．3.17×1010元
C．3.17×1011元 D．31.7×1010元
[解析] 1亿＝108，317亿元＝317×108元＝3.17×1010元
第1讲┃ 归类示例
B
命题角度：
用科学记数法表示数．
科学记数法的表示方法：
(1)当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1.
(2)当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的0)．
(3)有数字单位的科学记数法，先把数字单位转化为数字表示，再用科学记数法表示
第1讲┃ 归类示例
► 类型之四 创新应用
23
命题角度：
1．探究数字规律；
2．探究图形与数字的变化关系．
第1讲┃ 归类示例
[解析] 仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字，从左至右相加等于最后一个数字，
∴1＋4＋3＝B，1＋7＋D＋10＋1＝34，
∴B＝8，D＝15，∴B＋D＝8＋15＝23.
第1讲┃ 归类示例
此类实数规律性的问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地进行计算，必要的观察，猜想，归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律，总结结论．
第1讲┃ 归类示例
第1讲┃ 回归教材
硬币在数轴上滚动得到的启示
[点析] 用画图的方法可以将一个无理数用数轴上的点表示出来．事实上每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
第1讲┃ 回归教材
解：从图中可以看出，OO′的长就是这个圆的周长π，所以O′的坐标是π.
2
第1讲┃ 回归教材
第1讲┃ 回归教材
D
第2讲┃实数的运算与实数的大小比较
第2讲 实数的运算与实数
的大小比较
第2讲┃ 考点聚焦
考点1 实数的运算
第2讲┃ 考点聚焦
考点2 实数的大小比较
大于
大于
小于
小
右边
左边
考点3 比较实数大小的常用方法
第2讲┃ 考点聚焦
第2讲┃ 归类示例
►　类型之一　实数的运算
命题角度：
1．实数的加减乘除乘方开方运算；
2．实数的运算在实际生活中的应用．
例1 [2012·丽水] 计算：
第2讲┃ 归类示例
第2讲┃ 归类示例
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行．中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查．
(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．负指数幂的运算： (a≠0，且p是正整数)，零指数幂的运算： ＝1(a≠0)．
►　类型之二　实数的大小比较
命题角度：
1．利用实数的比较大小法则比较大小；
2．实数的大小比较常用方法．
第2讲┃ 归类示例
C
第2讲┃ 归类示例
第2讲┃ 归类示例
A
[解析] 互为相反数所表示的点关于原点对称，所以a，－a 所表示的点关于原点对称，故a＜1＜－a.
两个实数的大小比较方法有：(1)正数大于零，负数小于零；(2)利用数轴；(3)差值比较法；(4)商值比较法；(5)倒数法；(6)取特殊值法，(7)计算器比较法等．
第2讲┃ 归类示例
► 类型之三 实数与数轴
第2讲┃ 归类示例
D
命题角度：
1．实数与数轴上的点一一对应关系；
2．数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合；
3．数轴与实数大小比较、实数运算结合；
4．利用数轴进行代数式的化简．
[解析] 设点 C 所对应的实数是x，
则有x－√3＝√3－(－1)，解得x＝2√3＋1.
第2讲┃ 归类示例
(1)互为相反数所表示的点关于原点对称；
(2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等；
(3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表示实数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解决实数的有关问题．
第2讲┃ 归类示例
► 类型之四 探索实数中的规律
命题角度：
1. 探究实数运算规律；
2. 实数运算中阅读理解问题．
第2讲┃ 归类示例
例4 [2012·广东] 观察下列等式：
例4 [2012·广东] 观察下列等式：
第2讲┃ 归类示例
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________________；
(2)用含n的代数式表示第n个等式：an＝________________＝________________(n为正整数)；
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
第2讲┃ 归类示例
关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题．
对数式进行观察的角度及方法：(1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系．
第2讲┃ 归类示例
第2讲┃ 回归教材
硬币在数轴上滚动得到的启示
教材母题　人教版八上P87T6
比较下列各组数的大小：
第2讲┃ 回归教材
第2讲┃ 回归教材
[点析] 实数大小比较的常用方法有二次根式被开方数大小比较法，如(1) ；求近似值法，如(3)；平方法，如(4)．
1．[2011·威海] 在实数0、－√3、√2、－2中，最小的数是(　　)
A．－2 B．－√3 C．0 D.√2
第2讲┃ 回归教材
A
2．[2010·嘉兴] 比较大小：2√2________π(填“＞”“＜”或“＝”)．
3．[2010·郴州] 比较大小：√7________3(填写“<”或“>”)．
<
>
第3讲┃整式及因式分解
第3讲 整式及因式分解
第3讲┃ 考点聚焦
考点1 整式的概念
乘积
数
字母
指数的和
第3讲┃ 考点聚焦
次数最高的项
和
单项式
单项式和多项式
第3讲┃ 考点聚焦
考点2 同类项、合并同类项
相同
相同
考点3 整式的运算
第3讲┃ 考点聚焦
合并同类项
am＋n
amn
anbn
am－n
第3讲┃ 考点聚焦
第3讲┃ 考点聚焦
a2－b2
a2±2ab＋b2
(a＋b)2－2ab
(a－b)2＋2ab
考点4 因式分解的概念
第3讲┃ 考点聚焦
整式的积
考点5 因式分解的相关概念及基本方法
第3讲┃ 考点聚焦
m(a＋b＋c)
第3讲┃ 考点聚焦
(a＋b)(a－b)
(a＋b)2
(a－b)2
第3讲┃ 归类示例
►　类型之一　同类项
命题角度：
1. 同类项的概念；
2. 由同类项的概念通过列方程组求解同类项的指数中字母的值．
例1 [2012·雅安]如果单项式 是同类项，那么a，b的值分别为(　　)
A．2，2 B．－3，2 C．2，3 D．3，2
D
[解析] 依题意知两个单项式是同类项，根据相同字母的指数相同列方程，得
第3讲┃ 归类示例
(1)同类项必须符合两个条件：第一所含字母相同，第二相同字母的指数相同，两者缺一不可．
(2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解此类题的一般方法．
►　类型之二　整式的运算
命题角度：
1. 整式的加减乘除运算；
2. 乘法公式．
第3讲┃ 归类示例
例2 [2012·湛江] 下列运算中，正确的是(　　)
A．3a2－a2＝2 B．(a2)3＝a5
C．a3·a6＝a9 D．(2a2)2＝2a4
C
[解析] A是合并同类项应为2a2；B为幂的乘方，底数不变，指数相乘，故不正确；C是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确； D是积的乘方与幂的乘方综合运用，不正确．
第3讲┃ 归类示例

(1)进行整式的运算时，一要注意合理选择幂的运算法则，二要注意结果的符号．
(2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a3·a5 ＝a8和a3＋a3＝2a3. (am)n和an·am也容易混淆．
(3)单项式的除法关键：注意区别“系数相除”与“同底数幂相除”的含义，如6a5÷3a2＝(6÷3)a5－2＝2a3, 一定不能把同底数幂的指数相除．
第3讲┃ 归类示例
例3 [2012·湛杭州]化简：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？
解：2[(m－1)m＋m(m＋1)][(m－1)m－m(m＋1)]
＝2(m2－m＋m2＋m)(m2－m－m2－m)
＝－8m3.
原式＝(－2m)3，表示3个－2m相乘．
第3讲┃ 归类示例

(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想．
(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．
► 类型之三 因式分解
第3讲┃ 归类示例
命题角度：
1．因式分解的概念；
2．提取公因式法因式分解；
3．运用公式法因式分解：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．
例4 [2012·无锡] 分解因式(x－1)2 －2(x－1)＋1的结果是(　　)
A．(x－1)(x－2) B. x2
C．(x＋1)2 D. (x－2)2
D
[解析] 首先把x－1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解．
(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.
(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方式及其特点．
(4)因式分解要分解到每一个多项式不能再分解为止．
第3讲┃ 归类示例
► 类型之四 整式运算与因式分解的应用
命题角度：
1. 整式的有关规律性问题；
2. 利用整式验证公式或等式；
3. 新定义运算；
4. 利用因式分解进行计算与化简；
5. 利用几何图形验证因式分解公式．
第3讲┃ 归类示例
例5 [2012·宁波]用同样大小的黑色棋子按如图3－1所示的规律摆放：
图—1
图—1
第3讲┃ 归类示例
(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？
(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
[解析] (1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
(2)根据(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案．
解：(1)第一个图需棋子6颗，
第二个图需棋子9颗，
第三个图需棋子12颗，
第四个图需棋子15颗，
第五个图需棋子18颗，
…
第n个图需棋子3(n＋1)颗．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．
(2)设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据(1)得3(n＋1)＝2013，解得n＝670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子．
解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述．
第3讲┃ 归类示例
第3讲┃ 回归教材
完全平方式大变身
教材母题　人教版八上P157T7
已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．(提示：利用公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2)
解：∵a＋b＝5，ab＝3，
∴(a＋b)2＝25，
即a2＋2ab＋b2＝25，
∴a2＋b2
＝25－2ab
＝25－2×3
＝19.
第3讲┃ 回归教材
[点析] 完全平方公式的一些主要变形：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，在四个量(a－b)2 、(a＋b)2、ab 和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，就能求出(整体代换)其余的两个量．
1．[2012·南昌] 已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝(　　)
A．10 B．6 C．5 D．3
2．[2010·黄冈] 已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子 ＝________.
第3讲┃ 回归教材
C
－6
第4讲┃分式
第4讲 分式
第4讲┃ 考点聚焦
考点1 分式的概念
第4讲┃ 考点聚焦
考点2 分式的基本性质
分子
分母
M
M
考点3 分式的运算
第4讲┃ 考点聚焦
第4讲┃ 考点聚焦
第4讲┃ 归类示例
►　类型之一　分式的有关概念
命题角度：
1. 分式的概念；
2. 使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．
例1 （1） [2012·宜昌]若分式 有意义，则a的取值范围是(　　)
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠ 0
(2) [2012·温州] 若代数式 的值为零，则x＝________.
C
3
第4讲┃ 归类示例
[解析] (1)∵分式有意义，∴a＋1≠0，∴a≠－1.
第4讲┃ 归类示例
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．
(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．
(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查．
►　类型之二　分式的基本性质的运用
命题角度：
1. 整式的加减乘除运算；
2. 乘法公式．
第4讲┃ 归类示例
例2 [2012·义乌]下列计算错误的是(　　)
A
第4讲┃ 归类示例

(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”，“同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．
(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．
► 类型之三 分式的化简与求值
第4讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 分式的加减、乘除、乘方运算法则；
2. 分式的混合运算及化简求值．
例3 [2012·六盘水]先化简代数式 ，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为 a 的值代入求值．
第4讲┃ 归类示例
分式化简求值题的一般解题思路为：(1)利用因式分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分式进行化简；(2)选择合适的字母取值代入化简后的式子计算得结果．注意字母取值时一定要使原分式有意义，而不是只看化简后的式子．
第4讲┃ 归类示例
► 类型之四 分式的创新应用
命题角度：
1. 探究分式中的规律问题；
2. 有条件的分式化简．
第4讲┃ 归类示例
例4 [2012·凉山州]
2011.5
第4讲┃ 归类示例
此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜想一般性的结论，再利用分式的性质及运算予以证明．
第4讲┃ 归类示例
第4讲┃ 回归教材
分式化简有高招
教材母题　人教版八下P23T6
计算
第4讲┃ 回归教材
第4讲┃ 回归教材
[点析] 在进行分式的加、减、乘、除、乘方混合运算时，要注意运算法则与运算顺序．此类问题是中考的热点考题．
[2011·南京] 计算：
第4讲┃ 回归教材
第5讲┃数的开方及二次根式
第5讲 数的开方及二次根式
第5讲┃ 考点聚焦
考点1平方根、算术平方根与立方根
立方
平方
平方
第5讲┃ 考点聚焦
考点2 二次根式的有关概念
a≥0
考点3 二次根式的性质
第5讲┃ 考点聚焦
≥0
a
－a
a
－a
≥0
≥0
≥0
>0
考点4 二次根式的运算
第5讲┃ 考点聚焦
≥0
≥0
≥0
>0
考点5 把分母中的根号化去
第5讲┃ 考点聚焦
第5讲┃ 归类示例
►　类型之一　求平方根、算术平方根与立方根
命题角度：
1. 平方根、算术平方根与立方根的概念；
2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
例1 (1) [2012·雅安] 9的平方根是(　　)
A．3 B．－3 C．±3 D．6
(2)[2011·日照] (－2)2的算术平方根是(　　)
A．2 B. ±2 C．－2 D.√2
C
A
[解析] 9的平方根是±3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算．
►　类型之二　二次根式的有关概念
命题角度：
1．二次根式的概念；
2．最简二次根式的概念．
第5讲┃ 归类示例
例2 [2012·德阳]使代数式 有意义的x的取值范围是(　　)
A．x≥0 B．x≠
C．x≥0且x≠ D．一切实数
C
第5讲┃ 归类示例

此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．
► 类型之三 二次根式的化简与计算
第5讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；
2. 二次根式的加减乘除运算．
例3 计算
解：原式＝
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．
第5讲┃ 归类示例
第5讲┃ 归类示例
例4 [2012·巴中] 先化简，再求值： ，
其中x＝ .
此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．
第5讲┃ 归类示例
► 类型之四 二次根式的大小比较
命题角度：
1. 二次根式的大小比较方法；
2. 利用计算器进行二次根式的大小比较．
第5讲┃ 归类示例
例5 [2012·台湾] 已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋√15，乙＝3＋√17，丙＝1＋√19，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确(　　)
A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙
C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
A
第5讲┃ 归类示例
[解析] 本题可先估算无理数√15，√17，√19的整数部分的最大值和最小值，再求出甲、乙、丙的取值范围，进而可以比较其大小．
∵3＝√9<√15<√16＝4，
∴8＜5＋√15＜9，
∴8＜甲＜9.
∵4＝√16＜√17＜√25＝5，
∴7＜3＋ √17 ＜8，
∴7＜乙＜8.
∵4＝ √ 16＜√19＜√25＝5，
∴5＜1＋√19＜6，
∴丙＜乙＜甲．
故选A项．
比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．
第5讲┃ 归类示例
► 类型之五 二次根式的非负性
命题角度：
1. 二次根式√a的非负性的意义；
2. 利用二次根式√a的非负性进行化简．
第5讲┃ 归类示例
例6 [2012·攀枝花] 已知实数x，y满 ，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(　　)
A. 20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
B
第5讲┃ 归类示例
(1)常见的非负数有三种形式：|a|，√a ，a2.
(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
第5讲┃ 归类示例
第5讲┃ 回归教材
二次根式化简中的整体思想
教材母题　人教版九上P18T6
第5讲┃ 回归教材
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思想．把x＋y、x－y、xy当作整体进行代入．
[2012·苏州] 先化简，再求值：
第5讲┃ 回归教材