历年中考数学试题附参考答案
（含答案）
2010年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1、-2的倒数是
A. B. C. -2 D. 2
2、2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星―500”正式启动，包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”.将12480用科学计数法表示应为
A. B. C. D.
3、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD:AB=3:4，AE=6，则AC等于
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
4、若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为
A. 20 B. 16 C. 12 D. 10
5、从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是
A. B. C. D.
6、将二次函数化成的形式，结果为
A. B. C. D.
7、10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
甲队
177
176
175
172
175
乙队
170
175
173
174
183
设两队队员身高的平均数依次为、，身高的方差依次为、，则下列关系中完全正确的是
A. =，> B. =，< C. >，> D. <，<
8、美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9、若二次根式有意义，则的取值范围是____________.
10、分解因式：=________________.
11、如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则AE=______________.
12、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C第次出现时（为正整数），恰好数到的数是_______________（用含的代数式表示）.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13、计算：
14、解分式方程
15、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC.
求证：∠ACE=∠DBF.
16、已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根.
17、列方程或方程组解应用题
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.
18、如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）过点B作直线BP与轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4.求∠B的度数及AC的长.
20、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°.
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半径为2，求BD的长.
21、根据北京市统计局公布的2006―2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：
（1）由统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是_______年，增加了_____天；
（2）表1是根据《中国环境发展报告（2010）》公布的数据绘制的2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整（精确到1%）；
表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图
城市
北京
上海
天津
昆明
杭州
广州
南京
成都
沈阳
西宁
百分比
91%
84%
100%
89%
95%
86%
86%
90%
77%
（3）根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，百分比不低于95%的为A组，不低于85%且低于95%的为B组，低于85%的为C组.按此标准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分比为_________%；请你补全右边的扇形统计图.
22、阅读下列材料：
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，BA=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径总长是多少.
小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形.由轴对称的知识，发现，.
请你参考小贝的思路解决下列问题：
（1）P点第一次与D点重合前与边相碰_______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是_______cm；
（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上，若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为______.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23、已知反比例函数的图象经过点A（，1）.
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（，）也在此反比例函数的图象上（其中），过P点作轴的垂线，交轴于点M.若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为，求的值.
24、在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，）在这条抛物线上.
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）.
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）.若P点运动到秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻的值.
25、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC的数量关系为________________；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.
2011年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．的绝对值是
A． B． C． D．
2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 565 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A．等边三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．矩形
4．如图，在梯形中，，对角线、相交于点，若，，则的值为
A． B．
C． D．
5．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：
区县
大兴
通州
平谷
顺义
杯柔
门头沟
延庆
昌平
密云
房山
最高气温（℃）
32
32
30
32
30
32
29
32
30
32
则这10个区县该日气温的众数和中位数分别是
A．32，32 B．32，30 C．30，32 D．32，31
6．一个不透明的盒子中装有2个白球、5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为
A． B． C． D．
7．抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，是边上的一个动点（不与点、重合），过点作的垂线交射线于点．设，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若分式的值为0，则的值等于_____________．
10．分解因式：____________．
11．若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是_________．
12．在右表中，我们把第行第列的数记为（其中，都
是不大于5的正整数），对于表中的每个数规定如下：
当时，；当时，．例如：当，
时，．按此规定，_______；表中
的25个数中，共有______个1；计算的值为
__________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：。
14．解不等式：。
15．已知，求代数式
的值。
16．如图，点、、、在同一条直线上，，，
.
求证：。
17．如图，在平面直角坐标系中， 一交函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为。
⑴ 求反比例函数的解析式；
⑵ 若是坐标轴上一点，且满足，直接写出点的坐标。
18．列方程或方程组解应用题：
京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车，已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的。小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在中，,是的中点，，。若，，求四边形的周长。
20．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且.
⑴ 求证：直线是的切线；
⑵ 若，，求和的长.
21．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的统计图的一部分.
请你根据以上信息解答下列问题：
⑴ 2008年北京市私人轿车拥有量是多少万辆（结果保留三个有效数字）？
⑵ 补全条形统计图；
⑶ 汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量.为了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关.如：一辆排量为的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它的碳排放量约为吨.于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示.如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计2010年北京市仅排量为的这类私人轿车（假设每辆车平衡行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？
小明居住小区不同排量的私人轿车的数量统计表
排量（L）
小于
大于
数量（辆）
29
75
31
15
22．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形中，，对角线、相交于点．若梯形的面积为1，试求以、、的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点作的平行线交的延长线于点，得到的即是以、、的长度为三边长的三角形（如图2）．
请你回答：图2中的面积等于________．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，的三条中线分别为、、．
⑴ 在图3中利用图形变换画出并指明以、、的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
⑵ 若的面积为1，则以、、的长度为三边长的三角形的面积等于________．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点.
⑴ 求点的坐标；
⑵ 当时，求的值；
⑶ 已知一次函数，点是轴上的一个动点，在⑵的条件下，过点垂直于 轴的直线交这个一次函数的图象于点，交二次函数的图象于点。若只有当时，点位于点的上方，求这个一次函数的解析式。
24．在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．
⑴ 在图1中证明；
⑵ 若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
⑶ 若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
25．如图，在平面直角坐标系中，我们把由两条射线、和以为直径的半圆所组成的图形叫作图形．已知，，，且半圆与轴的交点在射线的反向延长线上．
⑴ 求两条射线、所在直线的距离；
⑵ 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时，写出的取值范围；
当一次函数的图象与图形恰好只有两个公共点时，写出的取值范围；
⑶ 已知平行四边形（四个顶点、、、按顺时针方向排列）的各项点都在图形上，且不都在两条射线上，求点的横坐标的取值范围．
2011年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
B
A
B
A
B
二、填空题
题号
9
10
11
12
答案
8
圆柱
0
15
1
三、解答题
解：
．
解：去括号，得．
移项，得．
合并，得．
解得．
所以原不等式的解集是．
解：
．
∵
∴．
∴原式．
证明：∵
∴．
在和中，
∴.
∴．
解：⑴ ∵点在一次函数的图象上，
∴．
∴点的坐标为．
∵点的反比例函数的图象上，
∴．
∴反比例函数的解析式为．
⑵ 点的坐标为或．
解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶千米．
依题意，得．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．
四、解答题
解：∵
∴.
又∵
∴四边形是平行四边形．
∴.
在中，由勾股定理得.
∵是的中点，
∴.
在中，由勾股定理得.
∵是的中点，
∴.
∴四边形的周长.
⑴ 证明：连结.
∵是的直径，
∴.
∴.
∵
∴.
∵
∴.
∴.
即.
∵是的直径，
∴直线是的切线．
⑵ 解：过点作于点．
∵
∴．
∵
∴.
∵
∴.
由中，由勾股定理得
∴.
在中，可求得.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
解：⑴
(万辆).
所以2008年北京市私人轿车拥有量约是174万辆.
⑵ 如右图.
⑶ (万吨).
估计2010年北京市仅排量为1.6L的这类私人轿车的碳排放总量约为万吨.
解：的面积等于 1 .
⑴ 如图.
以、、的长度为三边长的一个三角形是.
⑵ 以、、的长度为三边长的三角形的面积等于.
五、解答题
解：⑴ ∵点是二次函数的图象与轴的交点，
∴令即.
解得.
又∵点在点左侧且
∴点的坐标为.
⑵ 由⑴可知点的坐标为.
∵二次函数的图象与轴交于点
∴点的坐标为.
∵，
∴.
∴.
⑶ 由⑵得，二次函数解析式为.
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的
图象交点的横坐标分别为和2，由此可得交点坐标为和.
将交点坐标分别代入一次函数解析式中，
得
解得
∴一次函数的解析式为.
⑴ 证明：如图1.
∵平分
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
⑵ .
⑶ 解：分别连结、、（如图2）.
∵
∴
∵且
∴四边形是平行四边形.
由⑴得
∴是菱形.
∴.
∴是等边三角形.
∴ ①
.
∴.
∴. ②
由及平分可得.
∴.
在中，.
∴. ③
由①②③得.
∴.
∴.
∴.
解：⑴ 分别连结、，则点在直线上，如图1.
∵点在以为直径的半圆上，
∴.
∴.
在中，由勾股定理得.
∵
∴两条射线、所在直线的距离为.
⑵ 当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时，的取值是或；
⑶ 假设存在满足题意的，根据点的位置，分以下四种情况讨论：
①当点在射线上时，如图2.
∵四点按顺时针方向排列，
∴直线必在直线的上方.
∴两点都在上，且不与点重
合.
∴.
∵且
∴.
∴.
②当点在（不包括点）上时，如图
3.
∵四点按顺针方向排列，
∴直线必在直线的下方.
此时，不存在满足题意的平行四边形.
③当点在上时，
设的中点为则．
当点在（不包括点）上时，如图4．
过点作的垂线交于点垂足为点可得是的中点．
连结并延长交直线于点．
∵为的中点，可证为的中
点．
∴四边形为满足题意的平行四
边形．
∴．
2）当点在上时，如图5．
直线必在直线的下方．
此时，不存在满足题意的平行四边形．
④当点的射线（不包括点）上时，如
图6．
直线必在直线的下方．
此时，不存在满足题意的平行四边形．
综上，点的横坐标的取值范围是
或．
2012年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题无有四个选项，其中只有一个符合题意的．
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．正十边形的每个外角等于（ ）
A． B． C． D．
4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体
B．正方体
C．圆柱
D．三棱柱
5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小 英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线AB，CD交于点O．射线OM平分，
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示：
用电量（度）
120
140
160
180
220
户数
2
3
6
7
2
则这户家庭用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示的方向经过B跑到 点C，
共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t
（单位：秒），他与教练距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2，
刚这个固定位置可能是图1的（ ）
A．点M B．点N C．点P D．Q
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