中考复习
圆与证明
一、圆的概念
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”.
2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.
3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
5.圆的旋转不变性.
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.
7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.
8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆.
9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆.
10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧.
11.顶点在圆心的角称为圆心角.
12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.
13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交的角称为弦切角.
二、点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系有三种：点在圆外,点在圆上,点在圆内.
2.点与圆的位置关系的数量[点到圆心的距离(d)与半径(r)]关系：
三、直线与圆的位置关系
1.相交、相切、相离.
2.直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
3.直线与圆的位置关系量化揭密.
圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.
直线和圆相交
d r;
d r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d r;
<
=
>
四、圆与圆的位置关系
1.外离、外切、相交、内切、内含.
上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相离三类
相切
相交
相离
相交
3.圆与圆的位置关系量化揭密
五、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
③AM=BM,
重视：模型“垂径定理三角形”
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
3.垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.垂径定理的逆定理 在下列五个条件中:① CD是直径, ② CD⊥AB,③ AM=BM,
六、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
2.推论 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
七、圆周角定理
1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.推论1:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
3.推论2: 直径所对的圆周角是直角.
4.推论3: 90°的圆周角所对的弦是直径.
八、切线的性质和判定定理
1.性质定理 圆切线垂直于过切点的半径(直径).
2.判定定理 经过半径(直径)的外端,并且垂直于这条半径(直径)的直线是圆的切线.
┓
九、三角形与圆
1.定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆.
2.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形.
3.与三角形三边都相切的圆,叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.
5.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
十、 弧长与扇形面积
1. 半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式
2. 半径为R的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积.
十一、圆锥的侧面积(扇形)
1.已知:P是非⊙O上的一点,P点到⊙O的取大距离是d,最小距离是a.
求⊙O的半径r.
2.已知:P是⊙O内的一点,PO=3,⊙O的半径等于5.求过点P的最短弦的长度.
过点P的最长弦是直径,最短弦是垂直于过点P的直径的弦.
3.如图，在⊙O中，∠ABC=55°，
则∠D= , ∠AOC= .
若点 E 为 ⊙O 上任一点，则∠AEC的度数是多少？
125°
110°
5.练习１如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则
⊙O的半径—————
6.如图：PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与A,C不重合的点,若∠P=50°,则∠ABC=___
7. 已知R t △ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径
R= cm时，AB与⊙O相切.
此题关键是求出圆心 C 到直线AB的
距离d，也就是求出R t △ABC斜边上的高，
常用方法是面积相等法.
8.在△ABC中，∠ABC＝50°，
∠ACB＝75°，（1）若点O是三角形的内心（2）若点O是三角形的外心
分别求出∠BOC的度数。
练习
9.圆锥展开图的妙用：
（08，青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯
开口圆的直径EF长为10cm．母线 OE(OF)长为10cm．在母线 OF
上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的
点E处沿圆锥表面爬行到 A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为
cm．
解：将圆锥沿OE展开，可得如图所示，
已知
10.某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小龙沿湖边选取A , B , C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 m，A到BC的距离为 50 m，，请你帮他们求出滴水湖的半径。
11.（08，南通）已知：如图，M是 弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4 cm，MN= cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数．
解：（1）连结OM．
∵点M是弧AB的中点，
∴OM⊥AB．
过点O作OD⊥MN于点D,
由垂径定理，
故圆心O 到弦 MN 的距离为 2 cm．
（2）c o s ∠OMD＝ ,
∴∠OMD＝30°，∴∠ACM=90°－30°＝60°.
12. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，点 D、E 分别为
AB、AC上的点，且 DE 为 ⊙O 的切线，若△ABC
的周长为21，BC的边长为6.
则△ADE的周长为多少？
H
13. 如图，T在⊙O上，延长⊙O的直径
AB交TP于P, 若PA=18, PT=12, PB=8,
求证: PT 是⊙O 的切线.
如图：连接OT
∵ PA=18, PT=12, PB=8, 可得
且∠P为公共角，
则有△PBT∽△PTA ，
∴∠A=∠PTB,
∵AB为直径，
∴∠ATB=90°，
∵AO=OT , ∠A=∠OTA ,
又∠A=∠PTB .
∴∠OTA+∠OTB=∠PTB+∠OTB=90° ，即∠PTO=90°∴ PT⊥OT ,
∴T 为⊙O上一点，
∵OT 为半径，
∴PT为⊙O的切线。
14. （08，北京）已知：如图，在 R t △ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC 、 AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
解：（1）直线BD与⊙O相切
证明：如图1，连结OD．
∴直线BD与⊙O相切．
如图2，连结DE．
∵AE是⊙O的直径，
如图 2