初中数学圆总复习
知识体系
圆
基本性质
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
概念
对称性
垂径定理
圆心角、弧、弦之间的关系定理
圆周角与圆心角的关系
切线的性质
切线的判定
切线的作图
弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算
正多边形和圆
位置分类
性质
关系定理
有关计算
切线长定理
判定
圆的有关性质
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
篮球是圆吗？
圆必须在一个平面内
以3cm为半径画圆，能画多少个？
以点O为圆心画圆，能画多少个？
由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
圆是“圆周”还是“圆面”？
圆是一条封闭曲线
圆周上的点与圆心有什么关系？
圆的定义（集合观点）
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
到定点的距离等于定长的点都在圆上。
一个圆把平面内的所有点分成了多少类？
你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？
点与圆的位置关系
圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？
如果圆的半径为r，
点到圆心的距离为d，则：
点在圆上 d=r
点在圆内 d 点在圆外 d>r
与圆有关的概念
弦和直径
什么是弦？什么是直径？
直径是弦吗？弦是直径吗？
弧与半圆
什么是圆弧（弧）？怎样表示？
弧分成哪几类？
半圆是弧吗？弧是半圆吗？
弓形是什么？
同心圆、同圆、等圆和等弧
怎样的两个圆叫同心圆？
怎样的两个圆叫等圆？
同圆和等圆有什么性质？
什么叫等弧？
圆的有关性质
过三点的圆
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？
讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？
经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
三角形叫做圆的内接三角形。
问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？
问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？
垂直于弦的直径
及其推论
从特殊到一般
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？
性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
观察右图，有什么等量关系？
垂直于弦的直径
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。
AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC, AE＝BE 。
垂径定理
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
定理辨析
练习
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
OA=OB
OC=OD
变式练习
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
辅助线
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
推论1
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？
推论2
弧AE＝弧BF
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆的性质
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
相关定义
猜想与证明
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
定理 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中
(前提)
圆心角相等
（条件）
定理推论
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
一般地，n°的圆心角对着n°的弧。
弧的度数
圆周角
圆心角：如∠BOA
圆内角：如∠BCA
圆周角：如∠BDA
圆外角：如∠BFA
角的顶点在圆心
角的顶点在圆周上
是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?
动起来!
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角.
看清要点
画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系?
大胆猜想
回顾：圆周角等于它所对的弧的度数的一半。
猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角，它们之间有什么关系？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
定理
圆周角定理
分类讨论
完全归纳法
数学思想
推论
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
什么时候圆周角是直角？反过来呢？
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小
同弧所对的圆周角相等
如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？
等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？
等圆也成立
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考：
1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？
2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个
圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个
圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的
其余各组量也相等。
关于等积式的证明
如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PD
经验：
证明等积式，通常利用相似；
找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
什么时候圆周角是直角？反过来呢？
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
直线和圆的位置关系
重点内容
直线和圆的位置关系及其性质
2个
1个
无
d＜r
d＝r
d＞r
交点
切点
割线
切线
有且仅有
注意：“”，即“等价于”
熟记
直线和圆的位置关系的判定
2个
1个
无
d＜r
d＝r
d＞r
相交
相离
相切
熟记
切线的判定
重点内容
判断一条直线是不是圆的切线
使用定义：直线和圆有唯一的公共点
圆心到直线的距离d等于半径r时，直线和圆相切
说说看：以上两种判断办法是否方便应用呢？
操作：画⊙O，在⊙O上任取一点A，连结OA，过A点作直线l⊥OA
直线l是否与⊙O相切呢？
从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？
l 经过半径外端
l垂直于这条半径
穷则思变
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
已知： OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径6厘米。求证：AB与⊙O相切。
以上两题辅助线的作法是否相同？你分析出了什么结论？
辅助线技巧
证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。
若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直。（即连半径，正垂直）
若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。（即作垂线，正半径）
练兵
切线判定的方法
利用切线定义
利用圆心到直线的距离等于半径
利用切线判断定理

辅助线技巧：
若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直
若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。
Review
切线的性质
重点内容
切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径
切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l
理解记忆
类比猜想
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线判定与性质典型例题
已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。
体会规律
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。
切线的判定和性质
判定切线的三种方法：
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线
Review
切线的主要性质：
切线和圆只有一个公共点
切线和圆心的距离等于半径
切线垂直于过切点的半径
经过圆心垂直于切线的直线必过切点
经过切点垂直于切线的直线必过圆心
主要辅助线：
利用切线性质时，常作过切点的半径
证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什么时候“作垂线”
三角形的内切圆
重点内容
问题
如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？
思考
定义
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形内角平分线的交点。
三角形的内心是否也有在三角形内、三角形外或三角形上三种不同情况。
记忆
在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数。（1）点O是三角形的内心（2）点O是三角形的外心
△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。求证：DE＝DB。
练习
关于三角形内心的辅助线： 连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。
三角形的各种"心"
Hearts of Triangle
三条高线的交点
三条角平分线的交点
三边垂直平分线的交点
三条中线的交点
在形内、形外或直角顶点
在形内、形外或斜边中点
在形内
在形内
到三角形各顶点距离相等
到三角形三边距离相等
把中线分成了2:1两部分
已知△ABC的内切圆半径为r，求证： △ABC的面积S△ABC＝sr。（s为△ABC的半周长）
O
三角形的外接圆：
三角形的内切圆：
I
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法
等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法
基本思路：
构造三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。
O
D
圆的内接四边形
定理：圆的内接四边形的对角互补。
∠D＋∠B＝180°
∠A＋∠C＝180°
对角
又一种重要的辅助线
如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF
有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。
此图形是一个考试热门图形。
思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？
切线长定理
切线长的定义以及定理
切线与切线长的区别：
切线是直线，不能度量。
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。
PA、PB分别切⊙O于A、B
切线长定理：
题设：从圆外一点引圆 的两条切线
结论：①切线长相等， ②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何表述：

如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，直线OP交⊙O于点D，交AB于点C。
写出图中所有的垂直关系
写出图中所有的全等三角形
写出图中所有的相似三角形
写出图中所有的等腰三角形
若PA＝4cm，PD＝2cm，求半径OA的长
若⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，求切线长及这两条切线的夹角度数
PO平分∠AOB
PO垂直平分AB
PO平分弧AB
PA＝PB
PO平分∠APB
推广

切线长定理的推广（议一议）
四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。
圆的外切四边形的两组对边的和相等
AB＋CD＝AD＋BC
等腰梯形各边都与⊙O相切， ⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_____。
圆的外切四边形的两组对边的和相等
AB＋CD＝AD＋BC
应用举例
圆和圆的位置关系
外离
内含
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部。
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部。
d>R+r
d外切
内切
两个圆有唯一公共点，并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部。
两个圆有唯一公共点，并且除这公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部。
d=R+r
d=R-r
相交
两个圆有两个公共点。
R-r从公共点个数看两圆位置关系
公共点个数
没有公共点
（相离）
一个公共点
（相切）
两个公共点
（相交）
外离
内含
外切
内切
两圆位置关系的数量特征
d：圆心距
R、r：两圆半径（R>r）
相切两圆、相交两圆的性质
对称性
单一个圆是轴对称图象，那么由两个圆组成的图形是否有轴对称性质呢？有若，说出对称轴，若没有，说明理由
由上述性质，你可以推导出相切两圆、相交两圆分别有什么性质吗？说明理由。
如果两圆相切，那么切点在连心线上。
相切两圆的性质
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相交两圆的性质
⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm、3cm。两圆交于A、B两点，AB＝4.8cm，求O1O2的长。
正多边形和圆
圆的内接正n边形
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
三条边相等，三个角也相等（60度）
四条边都相等，四个角也相等（90度）
想一想：
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的内接正方形？
怎样找圆的内接正n边形？
把圆分成n（n≥3）等份：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；这个圆叫正多边形的外接圆。
定理
正多边形和圆的有关概念
定理
任何正多边形都有一个外接圆 。
正多边形的外接圆 的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于360°/n。
正多边形的性质
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴。
若n为偶数，则其为中心对称图形。
正多边形的性质
各边相等，各角相等
圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等分
每个正多边形都有一个外接圆。 外接圆的圆心就是正多边形的中心。
正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形
正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n
正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。
思考：
各角相等的圆内接多边形是否是正多边形？
正多边形的有关计算
思考
什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
正n边形的内角和、外角和分别是多少？它的每一个内角、外角、中心角分别是多少？
作一个正五边形，作出它的半径、中心角、边心距，观察它们之间有何关系？
若正多边形的边数为n时，它的边长、半径、中心角、边心距之间的关系如何？怎样做有关的计算？
关于正多边形的计算要记牢以下关系：
正多边形的边长a、边心距r、半径R之 间的关系：
正多边形的周长=边长x边数
正多边形的中心角=360/n=每一个外角
正多边形的每个内角=（n-2)x180/n
在a、r、R中已知两个就可求出第三个。
练习
已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6。
已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、内接正方形的边长、边心距和面积。
画正多边形
思想：
画半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分。
用尺规等分圆（保留痕迹）：
正四边形
正八边形
正六边形
正三角形
正十二边形
圆周长、弧长
圆周长
圆周长C与半径R之间的关系：C＝2πR
弧长计算公式
公式中n和180都不要带单位“度”
圆心角的单位必须化为“度”
题中没有标明精确度，结果用π表示
皮带轮模型
如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m。（1）求皮带长（保留三个有效数字）；（2）如果小轮每分钟750转，求大轮每分钟约多少转？
如果两个轮是等圆呢？
圆、扇形、弓形的面积
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形
扇形
回忆弧长计算公式的推导过程，你能否相应地推出扇形面积的计算公式呢？
扇形面积
观察扇形面积公式，你发现它和弧长公式之间有什么关系？
怎样才能牢固地记忆这两个公式呢？
已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。
圆环面积
把上题中的正三角形改为正方形，结果会怎样？
猜想：正五边形、正六边形时又会怎样？
用文字表达你得到的结论。
求不规则图形面积时，要认真观察图形，准确分解与组合，化归为常见的基本图形。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形
弓形面积
S弓形=
S扇形-S△AOB
S弓形=
S扇形+S△AOB
S弓形=S半圆
水平放着的圆柱形水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m。求截面上有水的弓形的面积（精确到0.01m2）
如图，⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作弧CED。求弧CED与弧CAD围成的新月形ACED的面积S。
如图，⊙O1与⊙O2外切于C，AB为两圆公切线，A、B为切点，若⊙O1、⊙O2半径为3R、R。求：（1）AB的长；（2）阴影部分面积。
猜想：扇环可以怎样计算呢？
有能力的话，你能推导吗？
扇环面积
圆柱和圆锥
侧面展开图
的
思考题
在一个圆锥形的雪糕壳的表面上A处有一只蚂蚁，它发现雪糕壳表明上的B处有一滴残留的雪糕，那么请你为这只蚂蚁设计一条最短的路线，使它最快爬到B处。
把一个圆柱侧面展开，是什么图形？
把一个圆锥侧面展开，是什么图形？
圆柱与圆锥的有关概念
圆柱
圆柱的高
圆柱的运动定义
圆柱的轴
圆柱的母线
圆锥
圆锥的高
圆锥的运动定义
圆锥的轴
圆锥的母线
圆柱的基本性质
两个底面是两个等圆
两个底面平行
母线平行与轴
轴通过上、下底面的圆心
母线长都相等并等于高
侧面展开图是矩形
矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长
另一边长是底面圆的周长
圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高
圆锥的基本性质
底面一个圆
轴通过底面的圆心
轴垂直于底面
母线长都相等
侧面展开图是扇形
扇形的半径是圆锥的母线长
弧长是圆锥底面圆的周长
圆锥的侧面积等于扇形的面积
提高练习
从一个底面半径为40cm，高60cm的圆柱中挖去一个以圆柱上底为底，下底圆心为顶点的圆锥，如图，得到一个几何体，求这个几何体的表面积。
好好学习，天天向上。
谢谢合作，
共同进步。
再见！