第25讲　多边形与平行四边形
第26讲　矩形,菱形.正方形
第27讲 梯形
第五单元 四边形
第25讲┃多边形与平行四边形
第25讲 多边形与平行
四边形
第25讲┃ 考点聚焦
1．按定义分类：
考点1 多边形
首尾顺次
(n－2)·180°
3
第25讲┃ 考点聚焦
相等
相等
轴
第25讲┃ 考点聚焦
考点2 平面图形的镶嵌
形状
大小
平面图形
镶嵌
第25讲┃ 考点聚焦
六
四
三
二
四
一
二
二
一
二
第25讲┃ 考点聚焦
2m＋3n＋4k＝12
1
2
两
一
一
1
考点3 平行四边形的定义与性质
第25讲┃ 考点聚焦
平行
相等
相等
平分
考点4 平行四边形的判定
第25讲┃ 考点聚焦
相等
相等
相等
互相平分
考点5 平行四边形的面积
第25讲┃ 考点聚焦
相等
第25讲┃ 归类示例
►　类型之一　多边形的内角和与外角和
命题角度：
1．n边形的内角和定理的应用；
2．n边形的外角和定理的应用．
5
[解析] 设该多边形的边数为n，则(n－2)×180＝1/3×360.
解得n＝5.
例1 [2012·德阳] 已知一个多边形的内角和是外角和的 1/3 ，则这个多边形的边数是________．
第25讲┃ 归类示例
如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．
►　类型之二　平行四边形的性质
命题角度：
1. 平行四边形对边的特点；
2. 平行四边形对角的特点；
3. 平行四边形对角线的特点．
第25讲┃ 归类示例
例2 如图25－1, 四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
图25－1
第25讲┃ 归类示例
平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算．
第25讲┃ 归类示例
► 类型之三 平行四边形的判定
例3 [2012·泰州] 如，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝ CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
[解析] 由垂直得到∠EAD＝∠BCF＝90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD＝BC，根据平行四边形的判定即可证明．
第25讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 从对边判定四边形是平行四边形；
2. 从对角判定四边形是平行四边形；
3. 从对角线判定四边形是平行四边形．
图25－2
第25讲┃ 归类示例
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°.
∵AE＝ CF，
∴△EAD≌△FCB(AAS)，
∴AD＝CB.
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
第25讲┃ 归类示例
判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
第26讲┃矩形、菱形、正方形
第26讲 矩形、菱形、正方形
第26讲┃ 考点聚焦
考点1 矩形
直角
直
相等
斜边
第26讲┃ 考点聚焦
相等
第26讲┃ 考点聚焦
考点2 菱形
邻边
相等
垂直
一组对角
第26讲┃ 考点聚焦
相等
垂直
一半
考点3 正方形
第26讲┃ 考点聚焦
平行
相等
直角
垂直平分
第26讲┃ 考点聚焦
判定正方形的思路图：
考点4 中点四边形
第26讲┃ 考点聚焦
菱形
矩形
正方形
菱形
菱形
矩形
第26讲┃ 归类示例
►　类型之一　矩形的性质及判定的应用
命题角度：
1. 矩形的性质；
2. 矩形的判定．
例1 [2012·六盘水]如图26－1，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
图26－1
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用AAS可得出三角形ABE与三角形FCE全等；
(2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFC为矩形．
第26讲┃ 归类示例
第26讲┃ 归类示例
►　类型之二　菱形的性质及判定的应用
命题角度：
1. 菱形的性质；
2. 菱形的判定．
第26讲┃ 归类示例
例2 [2012·重庆] 已知：如图26－2，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME.
图26－2
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据菱形的对边平行可得AB∥CD，可得∠1＝∠ACD，所以∠ACD＝∠2，得CM＝DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝DE；(2)证明△CEM和△CFM全等，得ME＝MF，延长AB、DF交于点N，然后证明∠1＝∠N，得AM＝NM，再利用“角角边”证明△CDF和△BNF全等，得NF＝DF，最后结合图形NM＝NF＋MF即可得证．
第26讲┃ 归类示例
第26讲┃ 归类示例
在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．
第26讲┃ 归类示例
► 类型之三 正方形的性质及判定的应用
例3 [2012·黄冈]如图26－3，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.
[解析] 根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即可得出结论．
第26讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 正方形的性质的应用；
2. 正方形的判定．
图26－3
第26讲┃ 归类示例
第26讲┃ 归类示例
正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质；正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
► 类型之四　特殊平行四边形的综合应用
例4 [2012·娄底]如图26－4，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
(1)求证：△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
第26讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；
2. 矩形、菱形、正方形的关系转化．
图26－4
第26讲┃ 归类示例
► 类型之五　中点四边形
例5 [2011·邵阳]在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE.
(1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
(2)试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形(写出你所添加的条件，不要求证明)．
第26讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 对角线相等的四边形的中点四边形；
2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形．
图26－5
第26讲┃ 归类示例
第26讲┃ 归类示例
依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
第26讲┃ 回归教材
探索正方形中的三角形全等
教材母题　人教版八下P104习题T15
如图26－6，四边形ABCD是正方形．点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF－BF＝EF.
图26－6
第26讲┃ 回归教材
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.
∵DE⊥AG，
∴∠DEG＝∠AED＝90°，
∴∠ADE＋∠DAE＝90°.
又∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF.
∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED，
∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，
故AF－BF＝AF－AE＝EF.
[点析] 正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具．
第26讲┃ 回归教材
1．[2010·红河] 如图26－7，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重合)，E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．
图26－7
第26讲┃ 回归教材
解：根据题目条件可判断DE∥BF.
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°.
∵AF＝AE＋EF，
又AF＝BF＋EF，
∴AE＝BF.
∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)．
∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE.
∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°，
∴∠AED＝∠BFA＝∠DEG＝90°.
∴DE∥BF.
第26讲┃ 回归教材
2．如图26－8，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
图26－8
第26讲┃ 回归教材
第26讲┃ 回归教材
第27讲┃梯形
第27讲 梯形
第27讲┃ 考点聚焦
考点1 梯形的有关概念
平行
不平行
第27讲┃ 考点聚焦
考点2 等腰梯形
底角
相等
第27讲┃ 考点聚焦
相等
考点3 梯形中常用的辅助线
第27讲┃ 考点聚焦
第27讲┃ 考点聚焦
第27讲┃ 归类示例
►　类型之一　梯形的基本概念及性质
命题角度：
1. 梯形的定义及分类；
2. 梯形的中位线及有关计算．
例1 [2012·滨州 ]我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图27－1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
图27－1
第27讲┃ 归类示例
[解析] 连接AF并延长交BC的延长线于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得．
解：结论为：EF∥AD∥BC，EF＝0.5(AD＋BC)．
第27讲┃ 归类示例
梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决．常用添加辅助线的方法有：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个顶点作高；(3)平移对角线；(4)延长两腰．
第27讲┃ 归类示例
►　类型之二　等腰梯形的性质
命题角度：
1. 等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；
2. 等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；
3. 等腰梯形的对角线相等的关系．
第27讲┃ 归类示例
例2 [2012·内江]如图27－2，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________.
图27－2
9
第27讲┃ 归类示例
利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行，而且可证明两边相等或两个角相等．
第27讲┃ 归类示例
► 类型之三 等腰梯形的判定
例3 [2011·茂名]如图27－4，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2.
(1)求证：OD＝OE；
(2)求证：四边形ABED是等腰梯形；
(3)若AB＝3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．
第27讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 定义法；
2. 从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；
3. 从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形．
图27－4
第27讲┃ 归类示例
[解析] (1)证明△ABD≌△BAE(ASA)．(2)由(1)得AD＝BE，再证DE∥AB即可．(3)△DCE∽△ACB，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得．
解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，
∴∠BAD＝∠ABE，
又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，
∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，
∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.
第27讲┃ 归类示例
第27讲┃ 归类示例
证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可．
► 类型之四　梯形的综合应用
例4 [2012·苏州] 如图27－5①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1 cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S (单位：cm2)与点P移动的时间t(单位：s)的函数关系如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了________s(结果保留根号)．
第27讲┃ 归类示例
命题角度：
1. 常用辅助线；
2. 动态几何问题；
3. 梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用．
第27讲┃ 归类示例
图27－5
[解析] 根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t＝2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再求时间．
第27讲┃ 归类示例
第27讲┃ 归类示例
第27讲┃ 归类示例
第27讲┃ 归类示例
动 态几何开放性数学问题是近几年兴起的一种新颖题型，一般是某一个点在某一个图形上的运动，难度相对较大，对考生综合分析问题的能力要求较高．主要形式有开放前提、开放结论两大类．解答此类问题要注意全面、整体地把握题目的意思，尤其不能漏掉某些情况.