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专题四 操作方案设计问题
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图形折叠问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；图形剪拼问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．解决折叠问题(实质就是轴对称问题)，可利用轴对称变换的性质解题．
一、折叠剪拼类操作
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【例题1】 (2011·浙江温州)如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着
EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是(　　)
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答案　C
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【例题2】 (2012·中考数学改编)用一条直线可将等腰梯形分成两部分，用这两部分能拼成一个新的图形．请你在原等腰梯形上画出直线，并对这条直线进行必要的说明，然后在框内画出要求的新图形．
(1)将等腰梯形分割后拼成矩形
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(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)
(3)将等腰梯形分割后拼成三角形
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答案　(1)将等腰梯形分割后拼成矩形
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(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)

(3)将等腰梯形分割后拼成三角形
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此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相(位)似等变换有关，掌握图形变换的性质是解这类题的关键．
二、图形变换类操作
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(1)在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
(2)在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
【例题3】 (2011·浙江绍兴)分别按下列要求解答：
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分析　(1)根据点O的坐标得到点O1的坐标，画出半径是2的圆即可．
(2)根据点的位置，找A、B、C关于P的对称点，画出即可．
解　(1)(2)如图所示：
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(1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
(2)如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积．
【例题4】 (2012·浙江义乌改编)在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.
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分析　(1)由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数．
(2)由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积．
解　(1)∵由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°.
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°.
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(2)∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1.
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此类题是近几年来中考出现的新题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，是中考的热点之一．主要考查观察能力、图形的组合能力、设计能力等．
三、利用图形进行方案设计
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方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.
【例题5】 某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
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分析　本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．
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解　方案(1)
画法1：如图1：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)在DC上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
图1
图2
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画法2：如图2：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法3：如图3(1)在AD上取一点H，使DH＝CF；(2)在CD上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形．
图3
图4
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方案(2)画法：如图4：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，(2)在AB上取一点Q，连接PQ，
(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM、PN、MN则四边形QMNP就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)
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经济类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多，这些问题可以结合方程和不等式(组)来解决．一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．
四、经济类方案设计
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【例题6】 (2012·浙江省杭州市一模)小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼(两种鱼不能混养)．计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表：
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(1)小王有哪几种养殖方式？
(2)哪种养殖方案获得的利润最大？
(3)根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A种鱼价格上涨a%(0＜a＜50)，B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？(利润＝收入－支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)
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解　(1)设他用x只网箱养殖A种淡水鱼．
由题意，得(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≥700，
且(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≤720，
又∵x为整数，
∴x＝39，40，41，42.
所以他有以下4种养殖方式：
①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；
②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；
③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；
④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱．
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(2)法一　A种鱼的利润＝100×0.1－(2.3＋3)＝4.7(百元)，
B种鱼的利润＝55×0.4－(4＋5.5)＝12.5(百元)．
四种养殖方式所获得的利润：①4.7×39＋12.5×41－120＝575.8(百元)；
②4.7×40＋12.5×40－120＝568(百元)；
③4.7×41＋12.5×39－120＝560.2(百元)；
④4.7×42＋12.5×38－120＝552.4(百元)．
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
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法二　设所获的利润为y百元，
则y＝4.7x＋12.5(80－x)－120＝－7.8x＋880
∴当x＝39时，y有最大值为575.8.
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
(3)价格变动后，A种鱼的利润＝[100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)](百元)，
B种鱼的利润＝55×0.4×(1－20%)－(4＋5.5)＝8.1(百元)．
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设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)＝8.1，
解得a＝34.
由此可见，当a＝34时，利润相等；
当a＞34时第④种方式利润最大；
当a＜34时，第①种方式利润最大．
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图形折叠问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；图形剪拼问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．解决折叠问题(实质就是轴对称问题)，可利用轴对称变换的性质解题．
一、折叠剪拼类操作
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【例题1】 (2011·浙江温州)如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着
EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是(　　)
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答案　C
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【例题2】 (2012·中考数学改编)用一条直线可将等腰梯形分成两部分，用这两部分能拼成一个新的图形．请你在原等腰梯形上画出直线，并对这条直线进行必要的说明，然后在框内画出要求的新图形．
(1)将等腰梯形分割后拼成矩形
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(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)
(3)将等腰梯形分割后拼成三角形
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答案　(1)将等腰梯形分割后拼成矩形
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(2)将等腰梯形分割后拼成平行四边形(非矩形)

(3)将等腰梯形分割后拼成三角形
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此类操作题常与轴对称、平移、旋转、相(位)似等变换有关，掌握图形变换的性质是解这类题的关键．
二、图形变换类操作
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(1)在图1中．作出⊙O关于直线l成轴对称的图形；
(2)在图2中．作出△ABC关于点P成中心对称的图形．
【例题3】 (2011·浙江绍兴)分别按下列要求解答：
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分析　(1)根据点O的坐标得到点O1的坐标，画出半径是2的圆即可．
(2)根据点的位置，找A、B、C关于P的对称点，画出即可．
解　(1)(2)如图所示：
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(1)如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
(2)如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积．
【例题4】 (2012·浙江义乌改编)在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.
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分析　(1)由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数．
(2)由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积．
解　(1)∵由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°.
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°.
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(2)∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1.
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此类题是近几年来中考出现的新题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，是中考的热点之一．主要考查观察能力、图形的组合能力、设计能力等．
三、利用图形进行方案设计
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方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.
【例题5】 某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
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分析　本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．
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解　方案(1)
画法1：如图1：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)在DC上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
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画法2：如图2：(1)过F作FH∥AB交AD于点H；(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；
画法3：如图3(1)在AD上取一点H，使DH＝CF；(2)在CD上任取一点G连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形．
图3
图4
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方案(2)画法：如图4：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，(2)在AB上取一点Q，连接PQ，
(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM、PN、MN则四边形QMNP就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)
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经济类方案设计题，一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多，这些问题可以结合方程和不等式(组)来解决．一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．
四、经济类方案设计
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【例题6】 (2012·浙江省杭州市一模)小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱，养殖A、B两种淡水鱼(两种鱼不能混养)．计划用于养鱼的总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元．设他用x只网箱养殖A种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产业情况如下表：
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(1)小王有哪几种养殖方式？
(2)哪种养殖方案获得的利润最大？
(3)根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A种鱼价格上涨a%(0＜a＜50)，B种鱼价格下降20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？(利润＝收入－支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)
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解　(1)设他用x只网箱养殖A种淡水鱼．
由题意，得(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≥700，
且(2.3＋3)x＋(4＋5.5)(80－x)＋120≤720，

又∵x为整数，
∴x＝39，40，41，42.
所以他有以下4种养殖方式：
①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；
②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；
③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；
④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱．
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(2)法一　A种鱼的利润＝100×0.1－(2.3＋3)＝4.7(百元)，
B种鱼的利润＝55×0.4－(4＋5.5)＝12.5(百元)．
四种养殖方式所获得的利润：①4.7×39＋12.5×41－120＝575.8(百元)；
②4.7×40＋12.5×40－120＝568(百元)；
③4.7×41＋12.5×39－120＝560.2(百元)；
④4.7×42＋12.5×38－120＝552.4(百元)．
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
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法二　设所获的利润为y百元，
则y＝4.7x＋12.5(80－x)－120＝－7.8x＋880
∴当x＝39时，y有最大值为575.8.
所以，A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大.
(3)价格变动后，A种鱼的利润＝[100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)](百元)，
B种鱼的利润＝55×0.4×(1－20%)－(4＋5.5)＝8.1(百元)．
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设A、B两种鱼上市时价格利润相等，则有100×0.1×(1＋a%)－(2.3＋3)＝8.1，
解得a＝34.
由此可见，当a＝34时，利润相等；
当a＞34时第④种方式利润最大；
当a＜34时，第①种方式利润最大．
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