第32讲　图形的相似
要点梳理
要点梳理
要点梳理
3．平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 _
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成 ；
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成 ，那么这条直线平行于三角形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
比例
比例
比例
要点梳理
4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做 ．
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的 ．
5．相似三角形的判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
相似三角形
相似比
要点梳理
6．相似三角形性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
要点梳理
7．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．
(1)AC2＝AD·AB；
(2)BC2＝BD·AB；
(3)CD2＝AD·BD；
(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；
(5)AB·CD＝AC·BC.
要点梳理
8．相似多边形的性质
(1)相似多边形对应角 ，对应边 ．
(2)相似多边形周长之比等于 ，面积之比等于 ．
9．位似图形
(1)概念：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线相交于 ，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做 ．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ．
相等
成比例
相似比
相似比的平方
相似
一点
位似中心
位似比
(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常常要用到中间比．
四个解题技巧
判定两个三角形相似的常规思考过程是：
(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；
(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例；
(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；
(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形．
五种基本思路
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找夹边成比例(用判定定理2)；
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
(5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．
1．(2012·陕西)如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC( D )
A．1∶2　　　　　　　　 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶4
2．(2014·陕西)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
3．(2013·陕西)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m)
比例的基本性质、黄金分割
D
A
三角形相似的性质及判定
【例2】　(2014·宜昌)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.
(1)求证：△ADE∽△CDF；
解：(1)证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，
AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDF
(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．
【点评】　本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
2．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.
(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；
(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
相似三角形综合问题
【例3】　(2014·安顺)如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
解：(1)证明：连OC，如图，∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°，又∵PC＝PG，
∴∠1＝∠2，而∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线
(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；
证明：连OG，如图，∵BG2＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，而∠FBG＝∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB＝∠BFG＝90°，
即OG⊥BG，∴BG＝CG，即点G是BC的中点
【点评】　本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．
3．(2014·绍兴)课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
相似多边形与位似图形
【例4】　(2012·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
(2)以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.
【点评】　本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
4．(2014·南通)如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD；
剖析　(1)此题中，Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠B可能与∠ACD相等，也可能与∠CAD相等，三角形△ABC与△ADC相似可能是△ABC∽△ACD或△ABC∽△CAD.根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论．
(2)分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法．
(3)在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题．忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现．