人教A必修2第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3种关系
3种问题
角度问题
平行问题
垂直问题
直线和平面的位置关系
平面和平面的位置关系
直线和直线的位置关系
知识网络
直线和直线的位置关系
3种关系
没有公共
点
共面直线
2个平面的位置关系
3种关系
直线和平面的位置关系
3种关系
1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（ ）
A.一个 B.至少一个 C.至多一个 D.无数个
C
练习
2、两条直线没有公共点，则它们的关系是（ ）
平行或异面
线面平行
线线平行
面面平行
判定1： 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
判定2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这2个平面平行
平行问题
3种问题
判定1
判定2
性质1
性质2
线面平行
线线平行
面面平行
性质1： 如果直线a与平面α平行，若经过a的平面β与α的交线为b，则a∥b
性质2：如果2个平面平行，则它们被第三个平面所截得的两条交线平行
平行问题
3种问题
判定1
判定2
性质1
性质2
如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
直线与平面平行的判定定理
a
b
α
平行问题
3种问题
注意3个条件要写全
a
线∥线的证明是关键！
如何证明两条直线平行？
(1)利用三角形的中位线; (3)平行的传递性
(2)利用平行四边形；
平行问题
3种问题
平行的传递性：
a∥ b， a∥ c，则b∥ c
如何证明一个四边形是平行四边形？
（1）一组对边平行且相等；
（2）两组对边分别平行
平行问题
3种问题
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平
行四边形，E、F是所在侧棱中点，
求证：EF∥平面PAB
证明：设PA的中点为M，连接ME,MB,在△PAD中，ME平行且等于AD的一半，故ME平行且等于BF，故四边形MEFB是平行四边形，于是EF∥MB,
又EF在平面PAB外，
MB在平面PAB内，
故EF∥平面PAB
平行问题
3种问题
典型例题
1.平行于同一平面的二直线的位置关系是( ）
（A） 一定平行
（B） 平行或相交
（C） 相交
（D） 平行，相交，异面
D
2 判断：
直线a∥平面α，则直线a平行于α内的任意直线
错
平行问题
3种问题
练习
（A）
平行
（B）
（C）
（D）
相交
平行或相交
平行或异面
3、直线a//平面，那么直线a与平面内直线b的位置关系是：
平行问题
3种问题
4、空间四边形ABCD中E，F，G，H分别是各边中点。则图中与面EFGH平行的边有 （ ）条。
（A）1
（B）2
（C）0
（D）4
B
平行问题
4种问题
5、平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）
（A） 一定平行
（B） 平行或相交
（C） 相交
（D） 平行，相交，异面
D
平行问题
4种问题
6、点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。
无数
平行问题
3种问题
性质1
判定2
判定1：如果一条直线与平面内的2条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直
判定2：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则这2个平面垂直
性质2
垂直问题
3种问题
判定1
性质1
判定2
性质1：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条直线平行
性质2：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面
性质2
垂直问题
3种问题
判定1
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直。
n, m , m与n相交，
l m, l n,
 l 
1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线
L
性质定理
2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行
垂直问题
3种问题
平面几何的方法
立体几何的方法
1、勾股定理
2、等腰（边）三角形底边上的中线与底边垂直
3、正（长）方形的特点
两条平行线中的一条与某直线，则另一条也垂直于该直线
直线a与平面α垂直，则a垂直于α内的任意直线）
4、直径对的圆周角为90度
垂直问题
3种问题
在正方体AC1中，O为下底面的中心，
求证：AC⊥面D1B1BD
证明：
∵ABCD为正方形，所以ACBD,
又因为在正方体中，BB1⊥平面ABCD，所以AC BB1,
又BD∩BB1=B,
故AC⊥面D1B1BD
垂直问题
3种问题
典型例题
（1）l  , m  l m
（2） n, m , l m, l n,  l 
（3）l  , m   l m
（4）l //m , l   m 

//

判断
对
错
对
对
垂直问题
3种问题
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
A
B
两个平面垂直的判定定理
α
β
垂直问题
3种问题
线⊥面得到面⊥面
垂直问题
3种问题
典型例题
证明：因为是正方体，所以
AC⊥BD，
又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，
因为AC∩BD=O,
所以BD⊥平面ACC1A1
故命题得证
O
四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明：连接AC，BD，交点为F，
连接EF，EF是△SAC的中位线，
∴ EF//SC.
直线EF⊥平面ABCD
直线EF在平面EBD内
故平面EBD⊥平面ABCD
垂直问题
3种问题
（1）两条异面直线成的角
将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于90°的角即为二者所成的角
a
b
（1）作，作出所求的角；
（2）证明该角是所求；
（3）在三角形中计算该角的大小或用余弦定理计算余弦；
若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记为a⊥b
成角问题
3种问题
特殊角度的三角函数值
成角问题
3种问题
在求解异面直线所成的角时有时需要用到
余弦定理
△ABC中，
a
b
c
C
成角问题
3种问题
例： 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小是（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
成角问题
3种问题
（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？
例  正方形ABCD－A1B1C1D1．求：
BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求，大小为45°
BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求，大小为90°
（3）A1B与B1C所成的角是多少度？
A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易知△D1B1C为正三角形，故所求角大小为60°
（1）A1B与CC1所成的角是多少度？
成角问题
3种问题
2、四棱柱
求异面直线A1B与AD1所成的角的余弦
成角问题
3种问题
正方体中，E,M为所在棱中点，求AE与BM所成角的余弦
成角问题
3种问题
（2）线面角---直线和平面所成的角
A
B
直线L是的斜线时,　作AB⊥α于B，
直线L与平面α的交点是O
∠AOB（锐角）即为 与所成的角
成角问题
3种问题
直线与平面所成角
斜线与平面所成角
注意:
成角问题
3种问题
判断
①两平行线和同一平面所成的角相等
②两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线是平行直线
③一条直线和两个平行平面所成的角相等
√
×
√
成角问题
3种问题
（1）A1B与平面ABCD所成的角
在正方体中，求
（2）A1B与平面BDD1B1所成的角
∠A1BA=45°
∠A1EB=30°
E
成角问题
3种问题
E
F
G
正三棱柱，AC=1,A’A=2,求A’C与平面ABB’A’成的角的正弦
解：取A’B’的中点为D,则C’D垂直于平面ABB’A’,角C’AD为所求的角
成角问题
3种问题
3、二面角
成角问题
3种问题
成角问题
3种问题
以二面角的棱上任意一点为O端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成的∠AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角
二面角的范围是[0,π]
平面角的特征
（1）顶点在棱上；
（2）两条边分别在2个平面内，且均垂直于棱；
二面角的平面角
成角问题
3种问题
正方体棱长为2，求二面角A-B’C-B的正切
解：取B’C的中点O，连AO，BO,
∵AB’=AC,所以AO⊥B’C,
又因为是正方体，所以BO⊥B’C；
故∠AOB为所求二面角的平面角
成角问题
3种问题
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小(往往要用锐角的
三角函数或余弦定理）
一“作”二“证”三“计算”
成角问题
3种问题