第四章 圆与方程
圆的概念
1．定义：平面内到定点的距离等于_____的点的集合叫做圆，其中定点叫_____，定长叫_____．

2．确定圆的基本条件
已知____和____可以确定一个圆．
____确定圆的位置，
_____确定圆的大小．
定长
圆心
半径
圆心
半径
圆心
半径
圆心
半径
4.1.1 圆的标准方程
1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则
圆的标准方程是_________________.
(x-a)2+(y-b)2=r2
在坐标平面上，平面被圆分成三个部分：圆上的点，圆内的点及圆外的点，那么如何判断点与圆的这三种位置关系呢？
判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可.
设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则
点与圆的位置关系
(1)将所给的点P与圆心C的距离d跟半径r比较：
若|PC|＝r，则点M在圆C上；
若|PC|＞r，则点M在圆外；
若|PC|＜r，则点M在圆内．
(2)可利用圆的标准方程来确定．
点P(m，n)在圆C上⇔___________________；
点P(m，n)在圆C外⇔___________________；
点P(m，n)在圆C内⇔___________________.
(m－a)2＋(n－b)2＝r2
(m－a)2＋(n－b)2＞r2
(m－a)2＋(n－b)2＜r2
下表归纳点与圆的位置关系及判断方法
2.求圆的标准方程的常用方法
(1)几何法
利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.
题型一 求圆的标准方程
例1:求满足下列条件的圆的标准方程
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在点(-2,1),半径为
(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).
分析:(1)､(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程.
解:(1)∵圆心(0,0),半径为3,
∴圆的方程为x2+y2=9.
(2)∵圆心(-2,1),半径
∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
(3) ∵圆的半径 又圆心为(8,-3),
∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,
只要求出a､b､r,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需要三个独立条件.
题型二 用待定系数法求圆的方程
例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.
分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”
是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆
的方程的形式,进而确定其中三个参数.
题型三 点和圆的位置关系
例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上､圆外还是圆内.
解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
∵点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5,
而r=5,d=r,∴点A在圆上.
点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离
∴点B在圆内.
规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利
用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定.另一种方法是把点P(x0,y0)代入圆的方程.
若(x-x0)2+(y-y0)2>r2,则点P在圆外,
若(x-x0)2+(y-y0)2=r2,则点P在圆上;
若(x-x0)2+(y-y0)24.1.2 圆的一般方程
1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(1)当________________时,方程表示一个点,该点的坐标为______________________;
(2)当________________时,方程不表示任何图形;
(3)当________________时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为________________,半径等于________________,上述方程称为圆的一般式方程.
D2+E2-4F=0
D2+E2-4F<0
D2+E2-4F>0
2.比较二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,可以得出如下结论:当二元二次方程具条件:
(1)x2和y2的系数相同,且不等于0,即____________;
(2)没有xy项,即__________;
(3)__________________时,它才表示圆.
A=C≠0
B=0
D2+E2-4AF>0
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2①
明确了圆心C(a,b),半径r,把标准方程展开就可得圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0②
(其中D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2).
仅当D2+E2-4F>0时,方程②才表示一个圆.
2.求圆的方程,需知三个条件,知过不共线三点求圆的方程,用一般式简单.知圆心和半径用标准形式简单.
题型一 圆的方程的判断
例1:判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.
(1)x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+2ay-1=0;
(3)x2+y2+20x+121=0;
(4)x2+y2+2ax=0.
分析:先将方程配方,化成圆的标准形式,然后再作出判断.
解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.
(2)原方程可化为x2+(y+a)2=a2+1,它表示圆心在(0,-a),半径为 的圆,标准方程为x2+(y+a)2=
(3)原方程可化为:(x+10)2+y2=-21<0,故方程不表示任何曲线,故不能表示圆.
(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.
①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;
②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2.
规律技巧:对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通
过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆;也可以由圆的
一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆.
题型二 求圆的一般方程
例2:试判断A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点是否在同一圆上.
分析:先求过A､B､C三点的圆的方程,再把D代入圆的方程,看是否成立即可.
解:设A､B､C三点所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A､B､C三点的坐标分别代入圆的方程得
∴过A､B､C三点的圆的方程是x2+y2-2x+2y-23=0,将D(4,3)代入方程,适合.故A､B､C､D四点在同一圆上.
规律技巧:求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
变式训练2:求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A､B､C三点坐标代入整理得

∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.
圆的标准方程与一般方程的特点对比
求动点的轨迹方程
求轨迹方程的五个步骤
(1)设点：建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标(x，y) ；
(2)列式：写出点M适合的条件；
(3)代换：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)验证：验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
例3:等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:
|AC|=|AB|,由两点间距离公式得,

平方整理得,
(x-4)2+(y-2)2=10.
这是以点A(4,2)为圆心,以 为半径的圆,但A､B､C为三角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5),
当BC为直径时,C(5,-1),
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(3x+y-14≠0).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.
规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是三角形的一个顶
点,故A､B､C不能共线,这一点容易造成失误,应引起高度重视.
4.2.1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆________,有两个公共点.
(2)直线与圆________,有一个公共点.
(3)直线与圆________,没有公共点.
相交
相切
相离
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:
dr⇔相离.
(2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式“Δ”进行判断:
Δ>0⇔相交,Δ=0⇔相切,Δ<0⇔相离.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断

两
一
零
3、有关直线与圆相交所得的弦长问题
一般地,求直线与圆相交所得的弦长,可结合垂径定理与勾股定理(几何法)来处理;也可利用韦达定理(代数法)来处理.
3.求圆的切线方程的常用方法
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 代入点斜式方程可得.
也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.
题型一 直线与圆的位置关系
例1:直线x+y-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0是相切､相离还是相交?
消去y,并整理可得,
x2-6x+9=0.
Δ=(-6)2-4×9=0,
∴直线与圆相切.
方法2:将已知圆配方得(x-2)2+(y+1)2=2,
∴圆心(2,-1)到直线的距离
∴ 故直线与圆相切.
规律技巧:判断圆与直线的位置关系有以下两种方法:
(1)把圆C的圆心C(a,b)到直线l的距离d与圆的半径r作比较,即圆C与直线l相离⇔d>r;圆C与直线l相切⇔d=r;圆C与直线l相交⇔d(2)用圆C和直线l的公共点的个数来判定,一般需通过解方程组进行消元,然后用判别式来判断,这种方法计算量大一点,但具有较普遍的意义.
题型二 切线问题
例2:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
分析:只要求出切线的斜率即可.
解:如右图所示,设切线的斜率为
k,半径OM的斜率为k1.
因为圆的切线垂直于过
切点的半径,于是
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方
程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
题型三 弦长问题
例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为 求l的方程.
分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长
得方程求k.
解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于
A(x1,y1)\,B(x2,y2),
两边平方,整理得2k2-5k+2=0.
解得 或k=2.
代入(1)知,Δ>0.
故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.
解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,
在Rt△AHO中,OA=5,
规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,
即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达
定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､
弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明
几何法比代数法简便.
变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
消去y得x2-3x+2=0,
解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0.
∴两交点坐标A(1,3),B(2,0),
∴弦长
4.2.2 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系
2.圆与圆位置关系的判定
几何方法：设两圆半径分别为r1，r2，圆心距离为d，则
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r2－r1|＜d＜r1＋r2
d＝|r2－r1|
d＜|r1－r2|
一般地,设圆C1和C2的方程分别为
(x-x1)2+(y-y1)2=r21,
(x-x2)2+(y-y2)2=r22.
圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=
那么,当d>r1+r2时,两圆________.
当d=r1+r2时,两圆________.
当|r1-r2|当d=|r1-r2|时,两圆________.
当0≤d<|r1-r2|时,两圆________.
外离
外切
相交
内切
内含
1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤
(1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r ,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r
位置关系的常用方法:
两圆C1､C2外离⇔|C1C2|>r1+r2;
两圆C1、C2外切⇔|C1C2|=r1+r2;
两圆C1､C2相交⇔|r1-r2|<|C1C2|两圆C1、C2内切⇔|C1C2|=|r1-r2|;
圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.
(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:
第一步:将两圆的方程化为标准方程;
第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);
第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.
2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法
跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.
题型一 圆与圆的位置关系
例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.
(1)外切;(2)内切.
分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.
题型三 与两圆公共弦有关的问题
例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A､B两点坐标是方程组

①-②得3x-4y+6=0.
∵A､B两点坐标都满足此方程,
∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.
规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两
个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.
易错探究
例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.
错解:设所求圆的圆心C(a,b),则

由①②解得a=5,b=-1.
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.
错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解.
正解:设所求圆的圆心C(a,b),则
①
(1)当两圆外切时,有 ②
由①②解得a=5,b=-1.
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.
(2)若两圆内切,则有 ③
由①③解得a=3,b=-1.
∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
综上所述,所求圆的方程为
(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.
2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:
第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.
第二步:通过__________,解决代数问题.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
注意:______________方法的灵活运用.
建立适当的直角坐标系
代数运算
数形结合思想
1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)
第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.
第二步:用代数运算解决代数问题.
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
2.要灵活运用数形结合的思想方法.
对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.
题型一 数形结合思想方法的应用
例1:(2008·全国卷)若直线
与圆x2+y2=1有公共点,则( )
A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1
答案:D
题型二 用坐标法求圆的方程
例2:如下图所示,点M是弓形弧 的中点,弦|OA|=8,弓形的高为2 m,求此弧所在圆的方程.

分析:只需要求圆心坐标及半径即可.
解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,
那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.
由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上

解得:b=-3,r2=25.
所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角
坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建
立的坐标系不同,所求得的方程不同.
题型三 与圆有关的综合问题
例3 :一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的
台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是
半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40
km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解:如图所示:
以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐
标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所
对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置
坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为
即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离
而
r=3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.
规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问
题,将几何问题转化为代数问题.