复习回顾：
空间直线和平面有几种位置关系？
大桥的桥柱与水面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例
实例引入
大漠孤烟直
α
内过点B的直线
AB所在直线
内不过点B的直线
α
α
AB所在直线
内任意一条直线
α
AB所在直线
⊥
⊥
⊥
一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.
平面的垂线
直线的垂面
垂足
直线和平面垂直的画法:
通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直。
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （ ）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （ ）
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
探索新知：
但是，直接考察直线与平面内所有直线都垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
探索新知：
做一做
想一想
1.折痕AD与桌面垂直吗？
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
探索新知：
探索新知：
由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的判定需要哪几个条件？
你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂
直判定定理吗
(1) 平面有两条直线
(2) 这两条直线要相交
(3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直
二、 直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
一相交两垂直
判断下列命题是否正确？
(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直( )

(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直( )
√
√
例1.在下图的长方体中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？
例2、在正方体AC1中，求证：
(2)D1B⊥平面ACB1
(1)AC⊥平面D1DB
例2、在正方体AC1中，求证：
(2)D1B⊥平面ACB1
由异成直线所成的角知
D1B⊥平面ACB1
例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。

（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
(1)连接VK,KB，由VA=VC,K为AC中点，由三线合一可知VK ⊥AC,
同理可得KB ⊥AC，且VK∩KB=K
所以AC ⊥平面VKB (判定定理)
变式：
1、在例3中若E、F分别为AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．
例3、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。

（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC
直线与平面垂直的性质
过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影；
这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
一.斜线在平面内的射影
１.垂线、斜线、射影
(１)垂线
线段PQ
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线．
斜线和平面的交点叫做斜足。
从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段
P
R
A
C
B
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．
(３)射影
直线BC
A
C
B
F
E
说明：②斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。
思考：斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢？
思考：
①从平面外一点向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？
②从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那一条最短？
A
C
B
D
E
垂线段比任何
一条斜线段都短
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么
这两条直线平行。
3.直线与平面垂直的性质定理
例2、如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线和斜 线，C、B分别是垂足和斜足，a ，a⊥BC。
求证：a⊥AB
线面垂直
线线垂直
三垂线定理:在平面内的一条直线,
如果它和这个平面的一条斜线的
射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线与这个平面的一条
斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.
求证: a⊥BC
外
中
垂
巩固练习：
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC
试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O
OA=OB=OC
O为三角形ABC的外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O为三角形ABC的垂心
D
O
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
A
B
C
O为三角形ABC的内心
O
E
F
典型：四面体P-ABC的顶点P在平面上的射影为O
(1)P到三顶点距离相等
(3)P到三边AB、BC、AC距离相等
(2)侧棱两两垂直
外
垂
内
若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直
O是垂心
练习3.如果两直线垂直于同一个平面,那么这
两条直线平行．
练习2.过一点只有一个平面和一条直线垂直．
练习1.过一点只有一条直线和一个平面垂直．
结论1.
结论2.
结论3.
常用结论发散
结论1：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
结论2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
结论3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
直线和平面垂直的判定
例 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
√
√
√
小试牛刀
线面垂直的性质定理：
符号语言：
图形语言：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
例2.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
（线面垂直 线线垂直）
（线线垂直 线面垂直）
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。
　　求证：b⊥α。
例题示范,巩固新知
分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。
a
b
阅读P66页的证明过程.
√
×
１、判断下列命题的正误。
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（ ）
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行（ ）
（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（ ）
×
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（ ）
√
五、过程设计
(三) 线面垂直性质定理的应用
小牛试刀
(1)若PA=PB=PC，则O是△ABC的 .
P
A
B
C

O
外心
例4.关于三角形的四心问题
设O为三棱锥P—ABC的顶点P在底面上的射影.
综合练习：
(2)若PA=PB=PC,∠C=900,则O是AB的_____点.
中
P
A
B
C

O
例4.关于三角形的四心问题
综合练习：
垂心
E
F
P
A
B
C

O
(3)若三条側棱两两互相垂直,则O是△ABC的 .
例4.关于三角形的四心问题
综合练习：
E
F
P
A
B
C

O
(5)若三条側棱与底面成相等的角，则O是△ABC的_____.
外心
例4.关于三角形的四心问题
综合练习：
例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
求证：PD⊥平面ABC.
证明：PA=PB，D为AB中点
∴ PD⊥AB，连接CD，
∵D为Rt△ABC斜边的中点
∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD
∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB
∴ PD⊥CD, CD∩AB = D
∴PD⊥平面ABC
例2、如图 平面α、β相交于PQ，
线段OA、OB分别垂直平面α、β，
求证：PQ⊥AB
证明：∵OA⊥α PQα
∴ OA⊥PQ
OB⊥β, PQβ
∴ OB⊥PQ
又OA∩OB=0
∴PQ⊥平面OAB
而AB平面OAB
∴ PQ⊥AB
S
A
B
C
H
S
A
B
C
H
1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC
求证：AC⊥平面BDM
M
A
B
C
D
O
A
B
C
D
证明：
2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
求证：对角线AC BD。
3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.
【解】　如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC，
所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心，
所以OD⊥AB，OE⊥BC，
又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，
所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，
于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，
从而推得PO⊥平面ABC.
中
外
垂
重心:三条中线的交点
垂心:三条高的交点
外心:三条垂直平分线的交点(到△三个顶点的距离相等)
内心:三角平分线的交点
中心:正△的重心、垂心、内心、外心重合的点
巩固练习
V
A
B
C
直线与平面垂直的判定与性质
解题分析:
解题小结:
2016-3-31
例1：如图，已知AC、AB分别是平面α的垂线
和斜线，C、B分别是垂足和斜足，a α，
a⊥BC．求证：a⊥AB．
A
C
B
a
α
2016-3-31
例2：如图，∠BAC在平面α内，P为平面α外一
点，∠PAB＝∠PAC．求证：点P在平面α上
的射影在∠BAC的平分线上．
A
C
B
P
α
O
E
F
巩固练习
1.平行四边形ABCD所在平面a外有一点P，且PA=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.
2016-3-31
例2：如图，在棱长为1的正方体中．
(1)求B1D 与平面ABCD所成的角的正切；
O
(2)求A1C1 与平面ABC1D1所成的角；
(3)求BB1 与平面A1BC1所成的角的正切．
M
H
2016-3-31
例5：⊿ABC的定点在平面α内，点A、C在平面
α的同侧，AB、BC与α所成角分别是300和
450．若AB＝3，BC＝4√2，AC＝5，求AC
与平面α所成的角．
A
α
B
C
2016-3-31
例6：如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，
PA⊥平面ABCD，AE ⊥ PD，PA＝3AB．求
直线AC与平面ABE所成角的正弦值．
P
A
B
C
D
E
【5】如图, AB为平面α的一条斜线, B为斜足,AO⊥平面α, 垂足为O, 直线BC在平面α内,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°, 则斜线AB和平面α所成的角是_______.
A
C
O
D
B
α
45°
设OB=2,
补充练习
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?
直线与平面所成的角
1.平面的斜线
如图,若一条直线PA和一个平面α相交,但不垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。
P
A
斜足
斜线
例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
O
例题示范,巩固新知
分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。
阅读教科书P67上的解答过程
HC与平面ABCD 所成的角是？
BG和EA与平面ABCD所成的角 分别是？
∠GBC与∠EAB
∠HCD
EC和EG与平面ABCD所成的角分别是？
∠ACE
练习:正方体ABCD－EFGH中
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A
D
C
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1
D1
C1
B1
A
D
C
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A
D
C
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A
D
C
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
0o
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
90o
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
45o
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
30o
巩固练习
线线垂直
相交垂直（共面垂直）
异面垂直