2.3.1直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所
示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，
将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.
思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的直线与桌面垂直
垂足
定义
直线与平面垂直
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③  等价于对任意的直线 ，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
问题
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
直线与平面垂直判定定理
简记为：线线垂直 线面垂直
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
探究
随堂练习
线面垂直判定定理的应用
例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，AB＝AC，DB

＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC⊥平面 AED.
图 1
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，

∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD .
求证：PO⊥平面ABCD

3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
（2）BC 平面PAC
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，
BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，

∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，

又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，
又 AE⊂平面 PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，∴AE⊥平面 PBC.
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 直径，

C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，

求证：AE⊥平面 PBC.


图 6
典型例题
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面
A
V
A
B
C
练习：
提示：找AC中点D,连接VD,BD
中
外
垂
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的
射影．
(1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_____；
(2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_____；
(3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则
O 是△ABC 的______；
(4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的_____．
外心
垂心
内心
垂心
(3)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF，
则 PD＝PE＝PF.
∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影
分别是 OD、OE、OF.
∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴O是△ ABC 的内心，故填内心．
∵PO⊥平面 ABC，
∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影．
又∵PA ⊥PB，PA ⊥PC，

∴PA ⊥平面 PBC.
又∵BC⊂平面 PBC，

∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC.
同理可证 OB⊥AC.
∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
(4)如图 26，
图 26
直线与平面垂直的性质定理的简单应用
例 1：如图 ，在四面体 P－ABC 中，若 PA ⊥BC，

PB⊥AC，
求证：PC⊥AB.
点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在
解(证)题中的作用．
1. 已知：正方体中，AC是面对角线，
BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD′⊥正方形ABCD
证明：连接BD
∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD
∵DD′∩BD=D
∴AC⊥平面D′DB
且BD′⊂面D′DB
∴AC⊥BD′
(1)自一点P向平面α引垂线，垂足P/叫做点P在平面α内的正射影(射影)
(2)点P与垂足P/间的线段叫点P到平面α的垂线段
(3)如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F/，则F/叫做图形F在这个平面内的射影
几个概念
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．
斜线与斜线段
斜线在平面内的射影
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角
斜线和平面所成的角
斜线和平面所成的角
1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的角是0°
2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：___________
斜线与平面所成的角θ的取值范围是：______________
O
P
A
α
斜线
斜足
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成的角
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
45o
典型例题
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角
O
例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A1B 与平
面 A1B1CD 所成的角．
图 4
求直线和平面所成的角时，应注意的问题
是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，

常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②

证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角

形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
图 5
2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2，

AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )
A
答案：D
图 22
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
3．数学思想方法：转化的思想
知识小结
2．直线与平面垂直的判定
垂直与平面内任意一条直线
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面
4．直线与平面所成的角.
(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个 D．—定不存在
(2)正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面ABCD，则在△PAB、 △PBC、△PCD、△PAD、 △PAC及△PBD中， 为直角三角形有______个
B
课堂练习
5
四.知识小结：
间接法
直接法
（1）
（2）数学思想方法：转化的思想
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。