函数模型及其应用
3.2.1几类不同增长的函数模型
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元
请问，你会选择哪种投资方案？
图象观察：作出三种方案的三个函数的图象
你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？
我们看到，底为
2的指数函数模型比
线性函数模型增长
速度要快得多。从中
体会“指数爆炸“的含义。
根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下先方案一，投资5~8天先方案二，投资8天以上先方案三？
累积回报表
结论
投资1~6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案 ：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励且奖金（单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：

其中哪个模型能符合公司的要求？
（1）奖金总数不超过5万元
（2）奖金不超过利润的25%
满足的要求：
解： 借助计算机作出函数
的图象
(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金不超过5万元的要求。
模型y=log7x+1
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此
f(x)即 log7x+1<0.25x
1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：
1.005
1.0151
1.0461
1.1407
1.4295
2.3107
5
155
130
105
80
55
30
5
33733
1758.2
94.478
5
4505
3130
2005
1130
505
130
5
30
25
20
15
10
5
0
练习
2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果
某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒
发作时传播一次病毒，并感染其他20台未被感染病毒的
计算机。现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮
病毒感染的计算机有多少台？
练习
1.149
1.516
2
2.639
3.482
4.595
6.063
8
10.556
0.04
0.36
1
1.96
3.24
4.84
6.76
9
11.56
-2.322
-0.737
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766
函数作图：
y
x
2
4
6
8
10
o
-2
- 4
2
1
3
从更大的范围观察的增长情况
1
2
8
4
16
32
64
128
256
…
0
1
4
9
16
25
36
49
64
…
函数作图：
10
8
6
4
2
12
4
10
8
6
2
1
16
14
20
24
22
26
28
30
1
9
5
7
3
y
x
o
(2,4)
(4,16)
.
.
1
1024
1.05
E+06
1.07
E+09
1.10
E+12
1.13
E+15
1.15
E+18
1.18
E+21
1.21
E+24
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
…
…
…
图3.2-6
1.10E+12
1.13E+15
50
100
y
x
答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax (a>1),指数函数y = ax (a >1)与幂函数y=xn (n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大, y = ax (a >1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度,而y=logax (a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,
当 x >x0时,就会有
幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论
在区间(0,+∞)上，函数y=logax (a>1),指数函数y = ax (a >1)与幂函数y=xn (n>0) 都是 ,但它们的 不同。
随着x的增大, y = ax (a >1)的增长速度越来越 ，会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度，表现为指数爆炸。y=logax (a>1)的增长速度则会越来越慢.
当a>1,n>0,总会存在一个x0,当 x >x0时,
小结
增函数
增长速度
快
当0x0时,就会有