3.2.1几类不同增长的函数模型
目的要求：
1．利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异。
2．结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义。
3．体会数学在实际问题中的应用价值。
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
问题引入
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？
一次函数、二次函数、常数函数、正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数 等
对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？
分析
1、依据什么标准来选取投资方案？
每天回报效益，还是累计回报效益？
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一:每天回报40元；
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番
请问，你会选择哪种投资方案？
二 新课
2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？
解：设第x天所得回报是y元
方案一可以用函数 进行描述；
方案二可以用函数 进行描述；
方案三可以用函数 进行描述.
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一:每天回报40元；
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番
请问，你会选择哪种投资方案？
3、三个函数模型的增减性如何？
4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？
从每天的回报量来看：
可以看到,尽管方案一,方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但方案三的增长量是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一,方案二所无法企及的,第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元。
有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？
下面再看累计的回报数：
一
二
三
40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8 ～ 10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。
我们看到,底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？
函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。
根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下先方案一，投资5~8天先方案二，投资8天以上先方案三？
由表和图可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的,从每天所得回报看,在第1~4天,方案一最多,在5~8天,方案二最多；第9天开始 ,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元。
例题的启示
解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
抽象概括
数学问题
演算
推理
数学问题的解
还原说明
实际问题的解
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
其中哪个模型能符合公司的要求？
题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？
线性函数、对数函数、指数函数
对比三种函数的增长差异
例 2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润　（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：某个奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,
奖金总数不超过5万元，
由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。
同时奖金不超过利润的25%，
于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公司要求即可。
不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。
通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。
x
y
o
对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。
y=5
y=0.25x
１．X的取值范围，即函数的定义域．
２．要满足哪些条件？
３．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？
解： 借助计算机作出函数
的图象
,它在区间 [10 ,1000] 上递增，而且当 x=1000时 ，　　　　　　　　　　　，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。
对于模型y=1.002x ,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(800,900)内有一个点x0满足1.002X0=5,由于它在区间 [10 ,1000]上递增,因此当x>x0 时,y>5,因此该模型也不符合要求；
对于模型y=0.25x ,它在区间[10 ,1000]上递增,当∈（20，1000）时,y>5因此该模型不符合要求；
首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万。
下面列表计算确认上述判断：
x
y
o
1、四个变量 随变量x变化的数据如下表：
练习：
1.005
1.0151
1.0461
1.1407
1.4295
2.3107
5
155
130
105
80
55
30
5
33733
1758.2
94.478
5
4505
3130
2005
1130
505
130
5
30
25
20
15
10
5
0
练习：
2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？
2．第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染．
an=10×20n-1
小结
确定函数模型
利用数据表格、函数图象讨论模型
体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义
习题3.2 A组1、2 B组 1