1.3.2函数的奇偶性
思考：
初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？
轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿
直线折叠，能够与另一图形重合）
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。
问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？
（定义域关于原点对称）
问题2：为什么强调任意和都有？
（说明具有一般性，避免特殊性）
问题3：偶函数的图像有什么特点？
（关于y轴对称）
f(x)为偶函数 f(x)的图像关于y轴对称
问题4：如何判断一个函数是偶函数？
1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易画出的函数）
2数----利用定义
（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称
（2） 确定f(x)于f(-x)的关系
（3） 若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数
问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
问题1：什么是奇函数？
定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。

问题2 ：奇函数的定义域有什么要求？
奇函数的定义域关于原点对称

问题3：为什么强调任意和一般？
（说明具有一般性，避免特殊性）

问题4：奇函数的图像有什么特点？
函数的图像关于原点对称
f(x)为奇函数 f(x)的图像关于原点对称
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)也成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)也成立.
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
注意：
1、函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域而言的是函数的整体性质；
5、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.
4、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.
（2）若对于定义域内的一些　，使　　　　 则　　是偶函数；
（3）若对于定义域内的无数个　，使　　　　
　　 则　　是偶函数；
（4）若对于定义域内的任意　，使　　　　
　　 则　　是偶函数；
（5）若　　　　　　则　　不是偶函数。
对于定义在 上的函数　　，
【练习1】判断：
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(2)解：定义域为 {x|x≧ 4}
定义域不关于原点对称。
∴f(x)是非奇非偶函数
(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(5) f(x)=5 (6) f(x)=0
(7) f(x)=x+1 (8) f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；
(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
(3)、下结论
4.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，也成立.其图象在两个半对称区间上的单调性是一致的.
2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，也成立.其图象在两个半对称区间上的单调性是相反的.
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.
解：画法略
利用对称性求函数的解析式
本课小结