29.1 投影
物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，影子与物体的形状有密切的关系．
你知道物体与影子有什么关系吗？
投影所在的平面叫做投影面．
照射光线叫做投影线
投影面
投影
投影线
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection）
投影
例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影．日影的方向可以反映时间，
平行投影
有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线，由平行光线形成的投影是平行投影．
我国古代的计时器日晷，就是根据日影来观测时间的．
我们的祖先对时间最早的认识，
也许就是通过观察日出和日落得到的.为了更加准确地了解太阳的变化，他们大约在公元前2000年左右就开始制造日晷，通过日晷的投影来了解时间这种神秘、抽象的东西.每天从早到晚，日晷标杆的投影随着太阳在空中的位置变化而转动，人们通过总结这种运动的规律，在日晷盘上加上刻度，更加准确地了解时间.
日晷又称“日规”，是我国古代利用日影测得时刻的一种计时仪器.只要将日晷按照方位适当地放置，就可以让 “晷针”的影子随着时间的变化均匀地投放在“晷面”的刻度上，从而记录时间的流逝。
移动着的晷针影子好像是现代钟表的指针，晷面则是钟表的表面，以此来显示时刻.
皮影戏是利用灯光的照射，把影子的影态反映在银幕（投影面）上的表演艺术．
皮影
例如：物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影．
由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．
中心投影
图中表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），我们也称这种情形为投影线垂直于投影面．像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；
图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；
在实际制图中，人们经常采用正投影．
中心投影、平行投影和正投影
如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；
p
A
B
A
B
A
B
B3
三种情形下铁丝的正投影各是什么现状？
（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面；
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）．
（1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；
（2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2;
（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个________
通过观察，我们可以发现：
p
A
B
A
B
A
B
A3(B3)
=
>
点A3(B3)
如图，把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同位置：
（1）纸板平行于投影面；
（2）纸板倾斜于投影面；
（3）纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板的正投影各是什么现状？
（3）当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为_______________．
通过观察、测量可知：
（1）当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的_________________；
（2）当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的___________________；
形状、大小一样
形状、大小发生变化
一条线段
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
人们经常根据上述规律绘制图形
例1 ：画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P．
A
B
C
D
A
B
C
F
G
分析：（1）当正方体如图的位置时，正方体的一个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方形A´B´C´D´．正方形A´B´C´D´的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影．因此，正方体的正投影是一个正方形．
（2）当正方体在如图的位置时，它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A´B´C´D´和A´B´G´F´；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下地面的投影分别是线段D´F´和C´G´．因此，正方体的投影是矩形F´G´C´D´，其中线段A´B´把矩形一分为二．
A
B
C
D
A´
B´
C´
D´
A
B
C
D
A´
B´
C´
D´
E
F
G
F´
G´
（2）如图，正方体的正投影为矩形F´G´C´D´，这个矩形的长等于正方体的正面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线A´B´是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影．
解： （1）如图，正方体的正投影为正方形A´B´C´D´，它与正方体的一个面是全等关系．
投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影：
lianxi
练 习1
把下列物体与它们的投影用线连接起来：
练 习2
3. 请你用线把图中各物体与它们的投影连接起来．
例2（1）如图（一），当小猫行至B处时，用线段表示出它在路灯A下的影子.
（2）如图（二），当小猫行至B处时，根据它在路灯A下的影子，判断其身高并用线段表示.
（3）如图（三），当小猫行至B处时,小猫和它在路灯A下的影子如图所示，你认为路灯的位置在哪个方向上，你是怎样判断的？
图（一）
图（二）
图（三）
A
B
B
A
图（一）
图（二）
图（三）
B
C
（1）如图（一），当小猫行至B处时，用线段表示出它在路灯A下的影子.
（2）如图（二），当小猫行至B处时，根据它在路灯A下的影子，判断其身高并用线段表示.
（3）如图（三），当小猫行至B处时,小猫和它在路灯A下的影子如图所示，你认为路灯的位置在哪个方向上，你是怎样判断的？
例3 确定图中路灯灯泡所在的位置.
作法：①过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线；
o
②再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，两线相交于点O.
点O就是路灯灯泡所在的位置.
小结：
物体上的点以及它们影子上的对应点的连线都过光源.
议一议
⑴如图是两棵小树在同一时刻的影子.请在图中画出形成树影的光线.它们是太阳的光线还是灯光的光线？
作法：①过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线；
②再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两线相交于一点.
由作法知两光线相交于一点，因此它们是灯光的光线.
议一议
⑵如图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示).
由画图知，两条光线是平行光线，因此是太阳光下形成的.
画法：过旗杆顶端画直线与一条光线平行，与两树底端所在直线交于一点，旗杆底端到交点的线段就是旗杆的影子.
练一练3
⒈有天晚上，小丽和小刚在灯下玩耍，小刚突然高兴地对小丽说：“我踩到你的‘脑袋’了”。请在图中画出小丽在灯光下的影子(可用线段表示),并确定小刚此时所站的位置.
4.下图中三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的
同一位置拍摄的。
(1）在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，
请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由。
顺序为：3 → 2 → 1
1 2 3
（2）在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流。
大树高度与其影长之比等于小树高度与其影长之比
从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东
物体影子的长度变化是：长→短→最短→短→长
5.某校墙边有甲、乙两根木杆。
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（用线段表示影子）（P111）
（甲）
（乙）
D
D/
E
E/
A
B
作法：
（1）作直线DD/

（2）过E作DD/的平行线，交AD/所在直线于点E/。
BE/就是乙杆的影子。
（2）在图中当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？

（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？
（甲）
（乙）
D
D/
A
平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BEE/）直到其影子的顶端E/抵达墙角为止。
△ADD/ 与△BEE/相似
※随堂练习
1、贝贝和他爸爸在阳光下的沙滩上漫步，他不想让爸爸看到他的影子，那么你能画出贝贝的大致活动的范围吗？
A
B
只要贝贝的影子与他爸爸的影子完全重叠他爸就看不见他的影子了！
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
※随堂练习
2、一天下午，秦老师先参加了校运会200m比赛，然后又参加400m比赛，摄影师在同一位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如下图）。你认为秦老师参加400m比赛的照片是哪一张？为什么？
（1）
（2）
答案：图（1）
3.下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：
⑴ 将它们按时间先后顺序进行排列，并说一说你的理由.
⑵ 一天当中，物体在太阳光下的影子的方(指)向是如何变化的？
CDAB
长短呢?
4.下图分别是两棵树及其影子的情形.哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？你是如何判断的？请画出图中表示小丽影长的线段.
灯光的光线
太阳的光线
5. 下面图中是光线由上到下照射一个五棱柱时的正投影，你能分别指出五棱柱的各个面的正投影是什么吗？
10. 阳光下，同学们整齐的站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好被站在他后面的同学踩在脚下，而小宁的影子却没有被他后面的同学踩在脚下，你知道他们的队列是面向哪？小宁和小勇哪个高？为什么？
答：（1）他们的队列是面向太阳；
（2）小勇比小宁高；
（3）因为太阳光线是平行光线，身高和影长成正比.
11.一根木杆如图所示.
⑴请在图中画出它在太阳光下的影子(用线段表示).
⑵若光线与水平方向成45°角，木杆的高度为8米，木杆与墙之间的距离为5米，求木杆的影子落在墙上的高度.
12.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树.晚上 ，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的.你能确定此时路灯光源的位置吗？
光源
⒊小朋友晚上在路灯下的马路上列队行进，队长下命令说：“注意每个人之间的距离！每两人间隔的距离应该有一个人影那么长！”你认为他下达的这个命令合理吗？若小朋友按照这个命令来执行，会出现什么样的情况？
⒋白天，小明和小亮在阳光下散步，小亮对小明说：
“咱俩的身高都是已知的，如果量出此时我的影长，
那么我就能求出你此时的影长.”晚上，他们二人又
在路灯下散步.小明想起白天的事，就对小亮说：
“如果此时量出我的影长，那么我就能求出你此时
的影长.”你认为小亮的说法有道理吗？小明的说法
呢？说说你的理由.
⒌有人说，在同一路灯下，如果甲物体比乙物体的影子长，那么就说明甲物体比乙物体高.你认为这种说法正确吗？
⒍小东在漆黑的道路上行走，一辆汽车开这车灯从他身边驶过，他在车灯下的影长怎样变化？
7. 如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，你能说出太阳相对于你的方向吗？
8、画下例几何体的正投影:
(1)投影线由物体前方射到后方;
(2)投影线由物体左方射到右方;
(3)投影线由物体上方射到下方;
今天你学会了什么?
有什么值得与大家共享?
有什么要注意的?