27.2.2 相似三角形的应用举例
1、判定三角形相似的方法：
方法1：通过定义
方法5：通过两角对应相等。(AA)
方法6：斜边直角边对应成比例.(HL)
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。(SSS)
方法4：两边对应成比例且夹角。(SAS)
2、相似三角形的性质：
对应角相等，对应边成比例。
利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题,下面请看几个例子.
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?
想一想
怎样测量旗杆的高度呢？
求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形
人身高和影长组成的三角形
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于
１、旗杆的高度是线段 ；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
温馨提示：
BC
△ABC
6m
2、人的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
△A′B′ C ′
3、 △ABC与△A′B′ C ′ 有什么关系?试说明理由.
1.2m
1.6m
旗杆
影长
方法一:
在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一旗杆的影长为30米,
那么旗杆的高度是多少米?
怎样测量旗杆的高度?
方法二:
人
镜子
方法三:
标杆
人
例3、古希腊科学家叫泰勒斯利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度。如图，如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA得为201m,求金字塔的高度BO。
解:太阳光是平行的光线,
因此:∠BAO=∠EDF.
又 ∠AOB=∠DFE=900.
∴△ABO∽△DEF.
因此金字塔的高为134m.
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他方法测量吗？
=
△ABO∽△AEF
OB =
平面镜
例4.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
P
Q
R
S
T
a
b
45m
90m
60m
因为 ∠ADB＝∠EDC,
∠ABC＝∠ECD＝90°，
所以 △ABD∽△ECD，
答： 两岸间的大致距离为？米．
如果测得BD，DC，EC，可以求两岸间的大致距离AB．
另解(方法二) ：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．
A
D
C
E
B
例5 、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝6m和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域1 和11都在观察者看不到的区域（盲区）之内．
H
K
仰角
视线
水平线
A
C
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置点F与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．
∴当他与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，就不能看见右边较高的树的顶端点C
练习
1.在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一栋高楼的影长为90m,这栋高楼的高度是多少?
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
2. 如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB．
解：
∵ AB∥CE
∴△ABD∽△ECD
AB=100m.
答：河宽AB为100m.
本节课我们学习了利用相似三角形来测量高度和宽度的方法.
解决过程中要实行数学建模:
审题
画示意图
明确数量关系
解决问题
课堂小结
课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
⑴
⑶
⑷
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以