27.2.1相似三角形的判定(3)
复习
1、相似三角形有哪些判定方法?
（１）．定义法（不常用）
（２）．“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（３）．“三边”定理：三边对应的比相等，两个三角形相似.
（４）．“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似.
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们一定相似吗？
如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
探究3
(1)作△ABC和△ A’B’C’,使得∠A＝∠A’,
∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C’吗?
(2)分别度量这两个三角形的边长,计算
,你有什么发现?
(3)△ABC和△ A’B’C’相似吗?
A
B
C
A’
C’
B’
∵ AM=A’B’,∠A=∠A’，AN=A’C’
∴ ΔAMN≌ΔA’B’C’
∴ ∠AMN=∠B’
又∵ ∠B=∠B’
∴ ∠AMN=∠B，
∴ MN//BC，
∴ ΔAMN∽ΔABC。
∴ ΔA’B’C’ ∽ΔABC
证明：在AB,AC上分别截取AM= A’B’,AN = A’C’
已知:在△ABC和△DEF中, ∠A=∠A’，B=∠B’,
求证: ΔABC∽ △A/B/C/
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 (两角对应相等，两三角形相似)
C
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
用数学符号表示：
相似三角形的识别
(两个角分别对应相等的两个三角形相似)
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF
证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，
∴ ∠C=1800－∠A －∠B =1800－400 －800 ＝600
∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。
400
800
800
600
600
例2. 如图，△ABC中，
DE∥BC，EF∥AB，
试说明△ADE∽△EFC.
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB（已知），
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行，同位角相等）
∠AED＝∠C. （两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似．）
填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，
△ACD∽△ABC。
（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足
条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
∠ ACD
∠ B
(或者∠ ACB＝∠ ADB)
DE//BC
D
(或者∠ C＝∠ ADE)
(或者∠ B＝∠ ADE)
D
3.已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
F
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
例3：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AC、BD。
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，
∴∠ A=∠D。
同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。
∴△PAC∽△PDB。
∴
A
B
C
D
P
O·
即PA·PB=PC·PD
课本72页
11题.如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，求证OA•OD=OB•OC
P48 练习 1、2
结论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
D
B
C
A
18

2.如图, ⊿ABC中,CD是边AB上的高,
且AD:CD=CD:BD, 求∠C的大小.
综合提高
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
方法5：“两角”定理：两角对应相等，两三角形相似。
课 堂 小 结
方法2： “平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
方法3：“三边”定理：三组对应的比相等，两个三角形相似.
方法4：“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似.
（不常用）
常见
图形
1.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °则AD·AB= AE·AC
85°
35°
60°
85°
例2、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB·AD
A
B
C
D
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC。
证明：BD2＝AD·BC
B
D
A
C
2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA，
求证：∠E=∠C
如何证明∠DEA＝∠C？
E
A
B
D
C
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8，求AB
A
B
D
C
4、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D
问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？
解： 图中有三个直角三角形，分别是：
△ ABC、 △ ADB、 △ BDC
△ ABC ∽ △ ADB ∽ △ BDC
3.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有 （ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
画一画
C
5、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D .若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，
求证：AB : AC=DF : BF
A
B
D
C
E
F
怎样创造具备预备定理条件的图形？
是否相似？
利用相似三角形的定义？
利用相似三角形的预备定理？
条件不够
可以证明！
把小的三角形移动到大的三角形上。