27.2相似三角形判定定理应用
回顾
一、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.
③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
二.相似三角形的判定方法
定理1 两角对应相等的两个三角形相似.
推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
定理2 三边对应成比例的两个三角形相似.
定理3 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;
定理4 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
3.如图,P是AB上一点,补充下列条件:
(1) ∠ACP=∠B;
(2)∠APC=∠ACB;
其中一定能使△ ACP∽ △ABC的是( )

(A) (1) (2) (3) (4) (B) (1) (2) (3)

(C) (3) (D) (1) (2) (4)
D
思考
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。
同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
求证：
求证（2）AC2=AD · AB CD2=AD · DB
随堂训练
2.如图，要使△ABE∽△ACD，只需增加一个条件：
_________________.
根据你所增加条件，还可得到：
_________∽_________。
△BDP
△CEP
若CD⊥AB，BE⊥AC，则图中共有_____对三角形相似。
6
∠B=∠C
变形图
8.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.
E
E
E
E
运用
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.
4.如图在△ABC中，DE∥BC,交AB与D，交AC与E，BE,CD交与F，若BF:FE=5:3，求(1)DE:BC; AE:AC的值;
(2) AD:DB的值
D
B
C
F
E
A
3:5
3:2
1
已知DE ∥BC 且∠1=∠B ，则图中共有 对相似三角形。
∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴△ADE ∽△ACD
∵ DE∥BC
∵ ∠EDC=∠DCB，
又∵ ∠1=∠B
∴△DEC∽△CDB
4
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，
试说明 △ADE∽△ABC。
D
B
C
A
18

随堂训练
1.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，
点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反
射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，
CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，
那么该古城墙的高度是（ ）
A、6米 B、8米
C、18米 D、24米
B
2、如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A、 1条 B、 2条 C、3条 D、 4条
9、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。
10.如图:直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC,AC的长分别是3和4,用这些铁片剪出一块正方形铁片,求剪下最大的正方形铁片面积。
运用
理解
4:2=5:x=6:y
4:x=5:2=6:y
4:x=5:y=6:2
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?
4
5
6
2
3:5
课前训练
5.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥DC,试问:
(1)△ABD与△DCB相似吗?请说明理由.
(2)如果AD=3, BC=5, 你能求出BD的长吗?
思考
思考
6.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
运用
7．如图，∠APD＝900，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）
A ΔPAB∽ΔPCA B ΔPAB∽ΔPDA
C ΔABC ∽ ΔDBA D ΔABC∽ΔDCA
C
运用
9.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当 时，即当 时，
△ABC∽ △CDB,∴
⑵∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当 时，即当 时，
△ABC∽ △BDC， ∴
答：略.
１
3、如图,在平行四边形ABCD中,过点A的直线交对角线BD于E,交BC于F,交DC的延长线于G。
求证:AE2=EF· EG
课前训练