24.2.2 直线和圆的位置关系切线(1)
d
r
相离
.A
d
r
相切
L
L
H.
直线与圆的位置关系 (数量特征)
.D
.O
r
d
相交
.
C
.O
.B
.
E
.F
O
L
r
r
r
在⊙O中,经过半径OT的外端点T作直线AB⊥OT,则圆心O到直线AB的距离是多少?______,直线AB和⊙O有什么位置关系?
_________.
新知讲解
.
O
T
OT
相切
L
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何应用:
∵OT⊥AB且OT为半径 ∴AB是⊙O的切线
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
A
B
图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
1.下列图形中的直线 l是不是圆O的切线,为什么?
练习
A
A
O
A
O
O
注意:定理中的两个条件缺一不可．
2.判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．( )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．( )
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．( )
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切．( )
T
B
A
O
证明直线与圆相切有如下三种途径:
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
这个命题的题设与结论分别是什么？
交换题设与结论你能得到几个命题？分别写出来。
③是切线（过切点)
②垂直于直线（切线）
①（OT）过圆心
OT是半径
OT⊥AB
∴直线AB是切线
探索切线性质
如图,直线CT与⊙O相切于点T,
直径CT与直线AB有怎样的位置关系?.
直径CT垂直于直线AB.
1.定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
①过圆心
③过切点
②垂直于切线
一条直线满足
探索切线性质
一条直线满足
①过圆心
③过切点
②垂直于切线
2.定理：过切点且垂直于切线的直线必过圆心
小结：切线的性质
1.定理 圆的切直线垂直于过切点的半径.
2.定理：过切点且垂直于切线的直线必过圆心
即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
１、切线和圆只有一个公共点。
２、切线和圆心的距离等于半径。
３、切线垂直于过切点的半径。
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
切线的性质：
切线的性质３、４、５可归纳为：已知直线满足a、过圆心，b、过切点，c、垂直于切线中任意两个，便得到第三个结论。
例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
求证:直线AB是⊙O的切线.
证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB
∴△OAB是等腰三角形,
OC是底边AB上的中线
∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线
例２． 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300.
求证:DC是⊙O的切线.
方法引导
当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连结圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法.
例３.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E
作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并
说明理由.
例４．.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,
以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
F
E
1.如图, AB是⊙O的直径,∠B＝45°,AC＝AB,
AC是⊙O的切线吗？为什么？
解：
∵ AC＝AB ， ∠B＝450
∴ AC⊥AB
又∵直线AC经过⊙O 上的A点
∴直线AC是⊙O的切线
∴∠C＝∠B＝450
∴∠ BAC ＝90°
B
C
A
0
２.如图所示，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
３.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于F．
求证：DE是⊙O的切线
４.如图，已知，AB是⊙O直径，BC⊥AB于B，⊙O的弦AD∥OC，
求证：DC是⊙O的切线．
５. 如图AB是⊙O的直径,直线l1、l2是⊙O的切线，AB是切点， l1、l2有怎样的关系？证明你的结论．
证明:
∵ l1是⊙O切线，
∴ l1⊥OA.
∵ l2是⊙O切线，
∴ l2⊥OB.
AB为直径，
６.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交
过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并
说明你的理由.
７.已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件
(只需写出三种情况)①___________②_____________
③______________.
(2)图乙, AB为非直径的弦,∠CAE=∠B.求证:EF是⊙O的
切线.
∠CAE=∠B
AB⊥FE
∠BAC+∠CAE=90°
H
８.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的
直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm
的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方
法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴
墙面量得MA的长,即可求出墙的直径,请你利用图乙,说
明她这样做的道理.
如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径
作半圆O，交斜边于D,OE∥AC交AB于E
求证：DE是⊙O的切线。
选作题
A
D
C
O
B
E
已知：AB是直径，AD是切线，判断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之间的关系
C
已知：AB是直径，AD是切线，判断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之间的关系
O
已知AB是直径，BC是切线，AC交圆O于点D，点E是BC的中点。
求证：DE是圆O 的切线
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
l是圆的切线
l是圆的切线
结 束 寄 语
不经历风雨，怎能见彩虹！
再 见