22.2 用函数观点看一元二次方程(二)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
一、复习巩固
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是
当y=0时自变量x的值,
即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
一、复习巩固
抛物线y=x2-3x+2和x轴交于A(1,0)，B（2，0）
交点的横坐标就是x1=1,x2=2
当y=0时自变量的值x1=1,x2=2 ,
一元二次方程x2-3x+2=0的根是x1=1,x2=2.
问题：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-7，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴。
探索问题
归纳：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（ｘ1，0），（ｘ2，0），则对称轴是：
1.若二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,0)和( -1,0) ,则其对称轴为 .
2.若二次函数y=ax2+bx+c经过点(3,6)和( -1,6) ,则其对称轴为 .
直线x=1
直线x=1
结论
若抛物线 y=ax2+bx+c经过两点(x1,n),(x2,n),
则其对称轴为直线x=(x1＋x2)／2
复习引入
D
2
0
-1
-3
（-1,0） （-3,0）
1
- 4
开动脑筋
（4）抛物线的对称轴是_____,
当x_____时，y随x的增大而增大
当x_____时，y随x的增大而减小
＞1或x＜- 4
＜1
- 4＜
x=-1.5
＞-1.5
＜-1.5
随堂测验
5
- 1
（4）抛物线的对称轴是_____,
当x_____时，y随x的增大而增大
当x_____时，y随x的增大而减小
抄题，画图
开动脑筋
3
2.同步P13第5题
(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2).观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标分别约为-4.3和2.3
(3).确定方程x2+2x-10=0的解;
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:
x1≈-4.3,x2≈2.3.
一元二次方程的图象解法
方程x2+2x-10=0的近似根为:
x1≈-4.3,x2≈2.3.
当x>2.3或x<-4.3时，y>0,即x2+2x-10>0,
所以不等式x2+2x-10>0的解集是
x>2.3或x<-4.3
当-4.3所以不等式x2+2x-10<0的解集是
-4.3方程x2+2x-10=3的根是x1=-4.7,x2=2.7
对于二次函数y=x2+2x-10
当x=-4.7时，y=3
当x=2.7时，y=3
不等式x2+2x-10<3解集是 .
由P(3，0)可以得到：
方程-x+3=0的解是 .
由Q(-2，0)，O(0,0)可以得到：
方程x2+2x=0的根是 .
由N(-3.8，6.8)，M(0.8,2.2)
可以得到：
方程x2+2x=-x+3的根是：
x1=-3.8,x2=0.8
由P(3,0),Q(-2,0),O(0,0)
N(-3.8，6.8)，M(0.8,2.2)
可以得到：
不等式-x+3>0的解是：
x<3
不等式-x+3<0的解是：
x>3
不等式x2+2x<0的解是：
-2不等式x2+2x>0的解是：
x<-2或x>0
不等式x2+2x>-x+3的解是：
x<-3.8或x>0.8
不等式-x+3> x2+2x的解是：
-3.8说一说你能根据图像得到哪些信息？
思考：
观察函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是什么;
(2)x取什么值时,函数值大于0;
(3)x取什么值时,函数值小于0.
解:(1)如图:抛物线与x轴交于点(-1,0),(3,0),所以方程x2-2x-3=0的解是-1,3.
(2)当x<-1或x>3时,y>0
(3)当-1已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图所示：
（1）求这个二次函数的解析式和图象的顶点坐标；
（2）何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减少？当x 取何值时，y>0;当x 取何值时，y<0;当x 何值时，y=0?
下列情形时,如果a>0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么位置?
(1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根;
(2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
(3)方程ax2+bx+c=0没有实数根.
0
1
x
y
-1
顶点在x轴下方
下列情形时,如果a>0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么位置?
(1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根;
(2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
(3)方程ax2+bx+c=0没有实数根.
0
1
x
y
-1
顶点在x轴下方
顶点在x轴
下列情形时,如果a>0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么位置?
(1)方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根;
(2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
(3)方程ax2+bx+c=0没有实数根.
0
1
x
y
-1
顶点在x轴下方
顶点在x轴上方
顶点在x轴
a＜0,
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0 (D）a＜0 b2-4ac＜0
D
已知二次函数ｙ＝-ax2，下列说法不正确的是（　　）
Ａ．当ａ＞０,ｘ≠０时,ｙ总取负值　
Ｂ．当ａ＜０,ｘ＜０时,ｙ随ｘ的增大而减小
Ｃ．当ａ＜０时，函数图象有最低点，即ｙ有最小值
Ｄ．当ｘ＜０，ｙ＝ -ax2的对称轴是ｙ轴
D
综合运用
已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。
(1)求这两个函数的关系式；
(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。
解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1
所以y2＝x＋1，P(3，4)。
因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有 4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2
所以y1＝2x2－8x＋10
解这个方程组，得
已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).
(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点；
(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；
(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.
(2)另一个交点坐标为(1，0)
(3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限