22.2.1二次函数与一元二次方程
【励志语录】
要成功，需要跟成功者在一起。
一、情景导入：（复习）
通过观察函数图象，可以发现并归纳一次函数与一元一次方程之间存在联系：
实际上，这也反映了一般函数
与方程的关系：
从“数”的方面看，当一次函数y= x+1的函数值y=0时，相应的自变量的值即为方程x+1=0的解；从“形”的方面看，函数y= x+1与x轴交点的横坐标即为方程x+1=0的解。
一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标即y=0的值就是方程ax+b=0的根。
你觉得一元二次方程x2+2x=0的根与二次函数y=x2+2x之间有联系吗？
寻求它们之间的联系可以采用哪些方法来研究呢？
1、预习内容：自学课本43-45页，解答下列问题
从43页“问题”的解答中，你能得出什么结论呢？（研读44页“从上面可以看出”一段）
2、预习测试：
(1).解下列方程
① x²+x-2=0 ② x²-6x+9=0 ③ x²-x+1=0
(2)已知二次函数y=x2-x-6的图象如图所示：
图象与x轴有2个交点，交点的横坐标是 ,则方程x2-x-6=0有 个根，方程的根是__ 　　　　　 。
（-2，0）和（3，0）
2
x₁=－2，ｘ₂＝３
（3）方程x2-5x+6=0有 个根，它们是 　　　　 ,所以,函数y= x2-5x+6的图象与x轴有 个交点,其交点坐标为 。
三、合作探究
2
x₁=2，ｘ₂＝３
2
（2，0）和（3，0）
学法指导：小组交流，形成共识，进行课堂大展示。展示时要讲清所用知识点、易错点。展示到小黑板的题要标清所用知识点、易错点；注意双色笔的使用，字体工整。
探究点一：二次函数与一元二次方程的关系
问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
总结：已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．
一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．
－x2＋4x =3
y＝－x2＋4x
探究点二：二次函数图形位置与一元二次方程解的关系
观察图象：
（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有 个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝ 9 0；
（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有 个交点，则一元二次方程
x2－6x＋9＝0的根的判别式△ 0；
（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴 没有 公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△ 0．
总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
2
＞
1
=
＜
探究点三：二次函数图像与系数之间的关系
根据图象填空：
（1）a 0；
（2）b 0；
（3）c 0；
（4）△＝b2－4ac 0；
（5）2a＋b 0；
（6）当y=0时，x的范围
为ax2＋bx＋c＝0的根为 ；
（7）当y＞0时，x的范围为 ；
（8）当y＜0时，x的范围为 ；
＜
>
>
<
x₁=m,x₂=1
mx1
>
探究点四：特殊代数式求值：

看图填空：
（1）a＋b＋c= 。
（2）2a+b= 。
（3）4a-2b＋c 。
（4）方程ax2＋bx＋c＝0
的根为 ；
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0
的解集为 。
-4
0
>0
x₁=-1,x₂=3
-1有两个交点
方程有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
只有一个交点
方程有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
方程没有实数根
b2-4ac < 0
中考链接：
（2009肇庆市）已知一元二次方程x²+px+q+1=0=的一根为 2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q 的顶点为 M，且与 x 轴相交于A
（ ｘ₁，0）、B（ｘ₂，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式．
解：（1）由题意得：2²+2p+q+1=0即q=-(2p+5)
(2)证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式Δ=p²-4q
由（1）得Δ=p²-4（2q+5）=（p+4)²+4>0
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点.
四．小结提升
学法指导： 1、对照学习目标找差补缺。
2、画出知识树。
一个关系：二次函数图象与一元二次方程根的关系（画出知识树）:
两种思想：函数与方程 的思想； 思想．
三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标问题。
2、通过本节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？
互相转化
数形结合
五、达标测试
A.基础达标
1.求下列二次函数图象与x轴的交点坐标，并作草图验证
（1）y=x2+6x-9； （2）y=9-4x2 。

2.抛物线y=2x - 8 - 3x²与x轴有 个交点，因为其判别式b²-4ac 0，相应二次方程2x - 8 - 3x²=0的根的情况为

3.选择：不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（ ）。
　　　A.a＞0，b2-4ac＜0 B .a＞0，b2-4ac＞0
　C. a＜0，b2-4ac＜0 D. a＜0，b2-4ac＞0
c
<
０
B.能力测试
1.填空：已知抛物线y=x²-2kx+9的顶点在x轴上，则k＝ ．
2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，求x＋y的最大值。
±3
分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x2＋3x＋y－3＝0得：
x＋y＝－x2－2x＋3
　　＝－(x＋1)2＋4，
所以当x＝－1时，x＋y最大值为4；
也可以尝试用换元法解决，
设x+y=k，则原方程可化为x²+2x+k－３=0，因为这个关于x必有实数根，所以△=4-4(k-3)≥0，解得k≤4，所以k（即x＋y）的最大值为4.
C、拓展与提高
（2012安徽23.）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

(2)当x=9时，y=2.45>2.43,所以球能过球网。