22.2 二次函数与一元二次方程
1、 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。

方程根的情况是：当△﹥0 时方程 ；

当△=0时，方程 ；

当△﹤0时，方程 。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2 、 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像

是一条 ，
抛物线
复习提问
1、二次函数图像与x轴交点个数有几种情况？想一想，
画一画
y
0
三种可能：①两个交点
②一个交点
③没有交点。
探究 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
二次函数图象和x轴交点坐标与 一元二次方程的根有什么关系?
y=x2+2x与 x轴交点
X1 =-2 X2 =0
(-2,0) (0,0）
x2+2x=0方程的根是
令
y=0
交点的横坐标是一元二次方程的根
（2, 0）（4,0 ）
X1 =2 X2 =4
y=x2-6x+8与x轴交点是
x2-6x+8=0方程的根是
令y=0
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）
x1，0
x2，0
x
(1). 图象y=x2+2x与x轴交点个数( )
一元二次方程x2+2x=0根的个数 ( )

(2)图象y=x2-2x+1与x轴交点个数( )
一元二次方程x2-2x+1=0根的个数( )

(3)图象y=x2-2x+2与x轴交点个数( )
一元二次方程x2-2x+2=0根的个数( )
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图：
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数与x轴交点与一元二次方程的根有什么关系?
两个交点
一个交点
没有交点
△﹥0，有两个不相等实数根
△=0，有两个相等实数根
△﹤0无实数根
. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数
与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
想一想 填一填
探究 抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
O
X
Y
基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是 ；
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0

（B）a＜0 b2-4ac＞0

（C）a＞0 b2-4ac＞0
（D）a＜0 b2-4ac＜0
D
1
0
1
x
y
M
N
2
3
2
y=x2-4x+4
一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函数y=x2-4x+4的图象与直线（ ）交点的横坐标
能力升华
．
．
直线y=1
一元二次方程x2-4x+4=0的根是函数
y=x2-4x+4的图象与（ ）交点的横坐标。
1
0
x
N
2
y=x2-4x+4
．
直线y=0
直线y=0
y
方程x2-4x+4=1的根（x1= x2= )
1
3
X轴
直线y=1
？
正确
(x-2)2=1
(x-2)=±1
X-2=-1 或 x-2=1

一元二次方ax2+bx+c=k的根是函数y=ax2+bx+c

的图象和 交点横坐标

y
x
0
．
直线y=k
．
直线y=k
x1
x2
跟踪练习二
函数的图象y=ax2+bx+c如图所示， 那么
(1)关于ax2+bx+c=0的一元二次方程的根的情况是( )
(2)关于ax2+bx+c=4的一元二次方程的根的情况是( )
(3)关于ax2+bx+c=2的一元二次方程的根的情况是( )
x
y
0
4
-2
Y=0
Y=4
Y=2
2
两个不相等的实数根
无实数根
两个相等的实数根
1).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
由上抛小球落地的时间想到
竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+40t表示
．
．
2） 小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m,
你是如何知道的，你有几种方法
3）对于上题来说，方程-5t2+40t=80的根
的实际意义是什么？
（2）方法二：利用方程：把h=60 代入得 -5t2+40t=60
解得x1=2 x2=6
-5t2+40t=80 当h=80时，相对应的t
(1)方法一：利用图像
联想：二次函数与x轴的交点各数可以借助
判别式解决，那么二次函数与一次函数的
交点个数又该怎么解决呢？

例如，二次函数y=x2-2x-3和一次函数
y=x+2有交点吗？有几个？

分析：两个函数的交点是这两个函数的
公共解，先列出方程组，然后消去y
后，再利用判别式判断即可
例题
二次函数y=x2-x-3和一次函数y=x+b
有一个公共点，求b的值
课堂小结
2. 二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c
ax2+bx+c=k
y取定值k
方程的根
交点的横坐标
与直线y=k
1.二次函数y=ax2+bx+c与X轴交点个数的确定
3.两个函数的交点是这两个函数的
公共解，先列出方程组，然后消去y
后，再利用判别式判断即可
数形结合的思想
1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
下图所示，请写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
2、抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为

_____
3．二次函数y=kx2＋4x－4的图象与x轴有交点，
则k 的取值范围 ．
目标检测
相信自己，我能行
X1=-2 ,x2=1
(2,0) (-5,0)
K>-1且k≠0