21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 变化率问题与一元二次方程
1．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，明确问题中的已知量和 ；
(2)设：设未知数，可以直接设也可以 ；
(3)列：依题意构建方程；
(4)解方程，求出未知数的值；
(5)检验作答．
2．构建一元二次方程来解决实际问题时，必须验证方程的解是否符合 ．
未知量
间接设
实际意义
倍数传播问题
1．(4分)早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝，在一天内，一人能传染x人，经过两轮传染后共有128人患上甲肝，则x的值为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
2．(4分)有一人患了流感，经过两轮后共有225人患上此病，求每轮传染中平均一人传染了几人？设每轮传染中平均一人传染了x个人，则可列方程 ．
D
1＋x＋(1＋x)x＝225
3．(8分)(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均每人传染x人，1＋x＋x(x＋1)＝64，x＝7或x＝－9(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)64×7＝448(人)
平均变化率问题
4．(4分)(2013·兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为( )
A．7 600(1＋x%)2＝8 200
B．7 600(1－x%)2＝8 200
C．7 600(1＋x)2＝8 200
D．7 600(1－x)2＝8 200
C
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是( )
A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x)2＝196
B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
A
C
7．(4分)党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，到21世纪的头20年(2001～2020年)，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为 ．
(x＋1)2＝4
8．(8分)(2013·广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：(1)设捐款增长率为x，则10 000(1＋x)2＝12 100，解方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故捐款的增长率为10%
(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)
9．某城市计划经过两年时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长( )
A．15% B．20% C．25% D．30%
10．某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价( )
A．10% B．19% C．9.5% D．20%
C
A
11．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度，2013年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2015年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为____．
12．某商品出售价600元，第一次降价后，销售较慢，第二次大幅降价，降价的百分率是第一次的2倍，结果以432元迅速出售，若设第一次降价的百分数为x，依题意列方程得
．
40%
600(1－x)－600(1－x)·2x＝432
13．(10分)月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂，现有一棵月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干、小分枝的总数是73.求每个枝干长出多少个小分支？
解：设每个枝干长出x个小分支，由题意可得：1＋x＋x·x＝73，解得x1＝－9(舍去)，x2＝8.故每个枝干长出8个小分支
14．(10分)李先生将10 000元存入银行，存期为一年，到期后取出2 000元购买电脑，余下的8 000元及利息又存入银行，到期一年后本息和是8 925元，如果两次存款的利率不变，求存款的年利率．
解：设年利率为x，得[10 000(1＋x)－2 000](1＋x)＝8 925，x1＝0.05，x2＝－1.85(舍去)，∴x＝5%
15．(10分)(2013·巴中)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率．
解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意得，400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意舍去)．
答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%
16．(14分)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2，x2＝1.8，因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，下调百分率为x1＝0.2＝20%.
答：平均每次下调的百分率是20%
(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×5 000×0.9＝14 400(元)．方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元).14 400＜15 000.∴小华选择方案一购买更优惠