一元二次方程典型应用
二、目标分析
知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程。提高数学建模能力，观察归纳能力，问题意识能力。
过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
情感、态度与价值观：通过用一元二次解决实际问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展的作用。体会做数学的快乐，培养用数学的意识。
重难点分析
重点：列一元二次方程解实际问题

难点：发现问题中的等量关系

解决措施：借助图形分析。教师引导，学生自主探索、合作交流。
1、复习问题，提出新知
1.列方程解应用题的基本步骤怎样？
（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。
（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。
（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。
（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。.
注：（1）在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。
(2)在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件： 　　a,方程两边表示同类量 　　b,方程两边的同类量的单位一样 　　c,方程两边的数值相等
2.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
3.一元二次方程常见应用题有哪些类型？
（1）增长率问题 （2）商品定价
（3）储蓄问题 （4）趣味问题
（5）古诗问题（年龄问题）（6）情景对话
(7)等积变形 (8)动态几何问题
增长率问题
例1　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
考点：一元二次方程的应用．

专题：增长率问题．

分析：本题设这两个月的平均增长率是x，十月份的销售额为200（1-20%）万元，十一月份的销售额为200（1-20%）（1+x）万元，十二月份在十一月份的基础上增加x，变为200（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%）（1+x）2万元，进而可列出方程，求出答案．

解答：解：设这两个月的平均增长率是x，十一月份的销售额达到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%）（1+x），十二月份的销售额达到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x）x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2，∴200（1-20%）（1+x）2=193.6，即（1+x）2=1.21，所以1+x=±1.1，所以x=-1±1.1，即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．

点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
商品定价
例2　某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
考点：一元二次方程的应用．

专题：定价问题．

分析：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可．
解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，由题意，得（40-x）（20+2x）=1200，即：（x-10）（x-20）=0，解，得x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元

点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解
储蓄问题
例3　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.
整理，得90x2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.
由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.
答 第一次存款的年利率约是2.04%.
趣味问题
例4　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
解：设竹竿的长度为X，那么X²=(X-4)²+(X-2)²=X²-8X+16+X²-4X+4=2X²-12X+20,
平移过来，X²-12X+20=0
(X-10)x（X-2）=0
X取10或2，由于2不符合标准，故舍去，得X=10米
答：竹竿长10米。
古诗问题（年龄问题）
例5　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设十位是X ，则个位数是(X+3) 两位数就表示成10X+(X+3)=11X+3
所以用“各位平方与寿符”做等量，列方程 11X+3=(X+3)^2 X^2-5X+6=0
(X-2)(X-3)=0
X1=2或X2=3
X1+3=5 X2+3=6
可得两组解，25或36，因为已知“而立之年督东吴”（而立之年为30岁）， 所以一定比30大. ，25就要舍去。
可得周瑜去世的年龄为36岁。
情景对话
例6　春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
考点：一元二次方程的应用．

分析：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．依题意列方程求解．

解答：解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人．可得方程[1000-20（x-25）]x=27000．整理得x2-75x+1350=0，解得x1=45，x2=30．当x1=45时，1000-20（x-25）=600＜700，故舍去x1；当x2=30时，1000-20（x-25）=900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．

点评：本题考查的是一元二次方程的应用，难度不大．
等积变形
例7　将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.
图3
考点：一元二次方程的应用．

专题：应用题．

分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可．

解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，18x+15x-x2=18×15×13，解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）；答：图①中小路的宽为3米．（2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得，πy2=18×15×13，解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）；答：扇形的半径约为5.4米．

点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系
动态几何问题
例8　如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
考点：一元二次方程的应用．

专题：几何动点问题．

分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为： 12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）△ABC的面积的一半等于 12× 12×AC×BC=12cm2，令 12×2x（6-x）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

解答：解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，则12•(6-x)•2x=8．整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．（2）由题意得：S△ABC=12×AC•BC=12×6×8=24，即：12×2x×（6-x）=12×24，x2-6x+12=0，△=62-4×12=-12＜0，该方程无解，所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解．