实际问题与一元二次方程（一）
情境引入
1. 回顾：列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
首页
上页
下页
2.若一人患流感每轮能传染5
人，则第一轮过后共有_____ 人患了流感，第二轮过后共有______人患了流感.
6
36
基本步骤：找、设、列、解、验、答.
应注意：寻找相等关系，检验方程的解是否符合实际问题.
列方程解应用的基本步骤
1、审：弄清题意，找出题中的等量关系;
2、设：用字母表示题中的所求量;
3、列：根据等量关系列出方程;
4、解：解出方程，并根本实际意义进行检验;
5、答：回答题中所问;
课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，
第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，
第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
分析：
第三次
第二次
第一次
a
aX10%
a+aX10%=
a（1+10%）X10%
a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =
a（1+10%）2
a（1+10%）
课前热身2：某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？
解：设平均每月增长的百分率为 x，
根据题意得方程为
50(1+x)2=72
可化为：
解得：
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
探究新知
首页
上页
下页
分析：
（1）题目中的已知量和未知量分别是什么？
（2）若设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么
①患流感的这个人在第一轮传染中传染了___人；第一轮传染后，共有
人患了流感.
②在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了
人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有
人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
                          1+x+（1+x）x=121.
              解方程得
                            x1=10  , x2=-12.
因为传染人数不可能为负数，所以x=-12不合题意舍去.
                 所以 x=10.
答：每轮传染中平均一个人传染了10人.
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
x
x+1
x+1
x
(x+1)x
1+x+（1+x）x
议一议
首页
下页
上页
（1）如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有________人患流感.
（2）综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、
121、1 331.你发现这组数据的规律了吗?第四轮传染后有
__________人患流感．
（3）利用上一规律如何换种方法列方程?
1 331
14 641
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
                          （1+x）2=121.
              解方程得
                            x1=10  , x2=-12.
因为传染人数不可能为负数，所以x=-12不合题意舍去.
                 所以 x=10.
答：每轮传染中平均一个人传染了10人.
巩固练习
首页
下页
上页
1.某种植物的主干长出若干数目的
枝干，每个枝干又长出同样数目的小
分支，主干、枝干和小分支总数是91，
每个枝干长出多少小分支？
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即 x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
主干
枝干
枝干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
2、新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
分析：
应用拓展
首页
下页
上页
1.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要
比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
2.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），
共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
分析：
（1） 两题中有哪些数量关系？
（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？
为什么？如何列方程？
（3）对比两题，它们有什么联系与区别？
1.解：设共有x个队参加了比赛，则有
x(x-1)=90
解得：x1=-9（舍）， x2=10.
答：共有10个队参加了比赛.
2.解：设共有x个队参加了比赛，则有
x(x-1) ÷2=15
解得：x1=-5（舍）， x2=6.
答：共有6个队参加了比赛.
复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？
一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？
长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
分析：封面的长宽之比为 ，中央矩形的长宽之比也应是 ，由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是 .
设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为 cm，宽为_____________cm．
27：21＝9：7
9：7
9：7
（27－18x）
（21－14x）
探究 2
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，
则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．
于是可列出方程．
下面我们来解这个方程．
整理，得
解方程，得
上、下边衬的宽均为___________cm，
左、右边衬的宽均为___________cm.
方程的哪个根合乎实际意义？为什么？
约为1.809
约为1.407
x2更合乎实际意义，如果取x1约等于2.799，那么上边宽为9×2.799＝25.191.
例1
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25+100=0
得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
∴此方程无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
解:设小路宽为x米，
则
化简得，
答:小路的宽为3米.
3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
解:设道路宽为x米，
则
化简得，
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.