实际问题与一元二次方程（一）
教学目标：
1、会列一元二次方程解应用题;
2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;
3、通过一题多解使学生体会列方程的实质， 培养灵活处理问题的能力.
重点：列方程解应用题.
难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量（简称关系式）；会根据所设的不 同意义的未知数，列出相应的方程。
一、复习 列方程解应用题的一般步骤？
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。
课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，
第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，
第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
分析：
第三次
第二次
第一次
a
aX10%
a+aX10%=
a（1+10%）X10%
a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =
a（1+10%）2
a（1+10%）
课前热身2：某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？
解：设平均每月增长的百分率为 x，
根据题意得方程为
50(1+x)2=72
可化为：
解得：
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
例1：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）
设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则
2001年
a
2002年
a（1+x)
2003年
a(1+x) 2
a(1+x) 2 =a+21%a
分析：
a (1+x) 2 =1.21 a
(1+x) 2 =1.21
1+x =1.1
x =0.1
解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则
a(1+x) 2 =a+21%a
答:平均每年增长的百分率为10% ．
练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，
每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
练习2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为 元，每次升价的百分率为 ，
根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，
所以 不合题意，舍去
答：每次升价的百分率为9.5%.
练习3.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
一元二次方程及应用题
1、直角三角形问题：（勾股定理）
2、体积不变性问题：
3、数字问题：

4、互赠礼物问题：

5、增长率问题：
典型练习题
1、一个两位数个位数字比十位数字大1，个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9，求：这个两位数
2、一件商品原价200元经过两次降价后162元，求：平均降价的百分比
3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人数
4、某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名同学参加
5、 一名同学进行登山训练，上山速度为2千米/小时，下山速度为6千米/小时，求：往返一次的平均速度
实际问题与一元二次方程（二）
面积问题
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
整理后，得x2-11x+30=0
解这个方程，得x1=5,x2=6
(与题设不符，舍去)
答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？
则横向的路面面积为 ，
分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。
解法一、
如图，设道路的宽为x米，
32x 米2
纵向的路面面积为 。
20x 米2
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
横向路面为 ，
如图，设路宽为x米，
32x 米2
纵向路面面积为 。
20x 米2
耕地矩形的长（横向）为 ，
耕地矩形的宽（纵向）为 。
相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2
(20-x) 米
（32-x) 米
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是1500平方米，求这条跑道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方米，道路的宽应为多少？
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地面积为570m²，问道路的宽为多少？
例3、求截去的正方形的边长
用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm２，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm？
求截去的正方形的边长
分析
设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式．
求截去的正方形边长
解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得
(28-2x)(20-2x)=180
x2-24x+95=0
解这个方程，得：x1=5,x2=19
经检验：x2＝19不合题意，舍去．
　所以截去的正方形边长为５cm.
例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.
分析:池底的造价+池壁的造价=总造价
解:设池底的边长是xm.
根据题意得:
解方程得:
∵池底的边长不能为负数,∴取x=4
答:池底的边长是4m.
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来方案的水池的长与宽各是多少米？
原方案
新方案
课堂练习:列方程解下列应用题
1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到0.1厘米）
2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余下的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米，路宽为多少？
3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81平方厘米，那么剪去的正方形边长为多少?
4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）
5、
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25+100=0
得 x1=20, x2=5
当=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多
放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ?
解:要放x层,则每一层放(1+x) 支铅笔.得
x (1+x) =190×2
列一元二次方程解应题
补充练习：
（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面
积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙
（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边
（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡
场的长和宽各多少米？
实际问题与一元二次方程（三）
质点运动问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理等；
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
例3：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直.
i)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;
ii)当x为何值时,直线l平分⊿ ABC的面积?
例4：客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.
(1)选择:两船相遇之处E点( )
A.在线段AB上;
B.在线段BC上;
C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;
ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)
练习1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于450cm2?
Q
B
A
C
P
练习2:在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
Ｄ