第十二章 全等三角形
12.3.1 角平分线的性质
（第1-2课时）
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线
C
∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
情境问题
1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
情境问题
A
D
B
C
E
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
C
E
D
1.以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；
2.分别以点D和E为圆心,以大于二分之一DE长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
∴ 射线OC就是∠AOB的平分线.
1〉平分平角∠AOB

2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究新知
角平分线有什么性质呢？
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
C
O
B
A
PD=PE
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
结论：
C
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE
探究角平分线的性质
验证猜想
角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)得到角平分线的性质：
∵ ∠1= ∠2,
PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
几何语言:
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE与PD相等吗?为什么?
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
例题讲解
E
解：∵OC平分∠ AOB
∠ C=900，DE ⊥ AB（已知）
∴ DC= DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ BC＝8,BD＝5
∴ DC=BC－BD=3
∴DE=3
答：点D到AB的距离为3
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
例题讲解
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
拓展练习
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。
例题讲解
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。
2
练习
如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
拓展示例
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件
DC=DE (角的平分线的性质)
再用HL证明.
试试自己写证明。你一定行！
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，且AB=10。
求：△DBE的周长。
综合应用
解：∵ AD平分∠BAC
∠C=90°, DE⊥AB (已知）
∴ CD=DE (角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中
AD=AD （公共边）
CD=DE (已证）
∴ Rt△ACD≌Rt△AED （HL）
∴ AC=AE （全等三角形的对应边相等）
∵ AC=BC （已知）
∴ BC=AE （等量代换）
∵ AB=10
∴ C△DBE=BD+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10。
证明： ∵ AD平分∠BAC (已知）
∴ ∠1=∠2 (角平分线的定义）
∵ PE∥AB ,PF∥AC (已知）
∴ ∠1=∠3， ∠2=∠4 (两直线平行，同位角相等）
∴ ∠3=∠4 (等量代换）
过点D作DG⊥PE, DH⊥PF，垂足分别为G、H
∴ DG=DH (角平分线上的点到角两边的距离相等）
即点D到PE和PF的距离相等
如图， △ABC中，AD为∠BAC的平分线，P是AD上一点，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.
求证：点D到PE和PF的距离相等。
G
综合应用
习题12.3第4题
H
1
2
3
4
证明： ∵ OC平分∠AOB (已知）
PD⊥OA, PE⊥OB
∴ PD=PE (角平分线上的点到角两边的距离相等）
∠1=∠2 (角平分线的定义）
△POD与△POE为Rt△
在Rt△POD和Rt△POE中
0P=0P （公共边）
PD=PE (已证）
∴ Rt△POD≌Rt△P0E （HL）
∴ OD=OE （全等三角形的对应边相等）
在△FOD和△FOE中
OD = OE
∠1=∠2
OF=0F
∴ △FOD≌△FOE （SAS）
∴ DF=EF （全等三角形的对应边相等）
如图， 0C为∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D、E， F是0C上一点，连接DF、EF. 求证：DF=EF。
综合应用
习题12.3第5题
D
P
1
2
证明： ∵ AD平分∠BAC (已知）
DE⊥AB, DF⊥AC
∴ DE=DF (角平分线上的点到角两边的距离相等）
∠1=∠2 (角平分线的定义）
△ADE 与△ADF为Rt△
在Rt△ADE和Rt△ADF中
AD=AD （公共边）
DE=DF (已证）
∴ Rt△ADE≌Rt△ADF （HL）
∴ AE=AF （全等三角形的对应边相等）
在△AGE和△AGF中
AE = AF
∠1=∠2
AG=AG
∴ △AGE≌△AGF （SAS）
如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F， EF与AD相交于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。
拓广探索
习题12.3第6题
2
1
∵ ∠AGE+∠AGF=1800（平角的定义）
∴ ∠AGE=900
∴AD⊥EF （垂直的的定义）
如图，O是△ABC角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为20，求S△ABC
拓展练习
动感课堂12.3第12题
解：过点O作OE⊥AB， OF⊥AC,垂足分别为E、F
∵ O是△ABC角平分线的交点 ,OD⊥BC (已知）
∴ 0D=OE=OF (角平分线上的点到角两边的距离相等）
连接OA
∵ C △ABC =20，OD=3
∴ S△ABC= S△AOB+ S△BOC+ S△AOC
课堂作业
课堂作业
1.课本50页课后练习第1、2题（做在书上）
3.动感课堂B25~26页12.3 第1~3、6、7、9、10、15、16题
课后作业
2.课本51页习题12.3第1题（做在书上）
义务教育课程标准实验教科书
八年级 上册
人民教育出版社
第十二章 全等三角形
12.3.1 角平分线的性质
（第3-4课时）
1、会用尺规作角的平分线.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角的平分线的性质:
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
用数学语言表述：
复习
到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
探究角平分线的性质（一）的逆定理
探究新知
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中
　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
　∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
角的平分线的性质
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
归纳、比较
X
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
X
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( )
√
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
思考
D
C
S
解：作夹角的角 平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
例题讲解
证明：∵ BD⊥AM CE ⊥AN(已知）
∴ ∠FDC= ∠FEB(垂直的定义）
在△ FDC 和△FEB中
∠FDC= ∠FEB （已证）
∠CFD= ∠BFE （对顶角相等）
CF=BF (已知）
∴ △FDC≌△FEB （AAS）
∴ EF=DF （全等三角形的对应边相等）
∴ OA平分 ∠ MAN（到角两边距离相等的点在角的平分线上）
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题
理论联系实践
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
拓展延伸
理论联系实践
变式1　如图，△ABC 的一个
外角的平分线BM 与∠BAC的平分
线 AN 相交于点P，求证：点 P 在
△ABC另一个外角的平分线上．
变式拓展
变式2　如图，P 点是△ABC
的两个外角平分线 BM，CN 的交
点，求证：点 P 在∠BAC 的平分
线上．
变式拓展
证明： ∵S △DCE =S △DBF ，CE=BF （已知）
∴ DH=DG (等底等高，面积相等）
∵ DH⊥AB, DG⊥AC
∴ AD平分∠BAC(到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∠BAC+ ∠HDG=1800 (四边形内角和等于3600）
△DHF与△DGC为Rt△
在Rt△DHF和Rt△DGC中
DF=DC （已知）
DH=DG (已证）
∴ Rt△DHED≌Rt△DGE （HL）
∴ ∠1=∠2 （全等三角形的对应角相等）
∴ ∠BAC+∠FDC=1800 （等量代换）
综合应用
动感课堂12.3第16题
1
2
如图, D, E, F分别是△ABC三边上的点, CE=BF, DE=DC, △DCE和△DBF的面积相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证:(1) AD平分∠BAC (2)∠FDC与 ∠BAC 互补.
证明： 过点作MN ⊥AD，垂足为N
∵ MD平分∠ADC ∠C=900(已知）
∴ MC=MN (角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ M是BC的中点(已知）
∴ BM=CM (中点的定义）
∴ BM=MN (等量代换）
∵ ∠B=900 (已知）
∴ AM平分∠BAD (到角两边距离相等的点在角的平分线上）
拓广探索
习题12.3第7题
2
1
如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ ADC。 求证：AM平分∠DAB
N
如图,有两条交叉公路OA、OB内有两村庄C、D,现要在两村庄附近修建一加油站P，使加油站不但到两村庄距离相等,而且又要到两公路的距离也相等.你在什么位置建立该加油站？
P
课外讨论题
理论联系实践
课堂作业
课堂作业
2.动感课堂B25~26页12.3 第4、5、11、13、14、17题
课后作业
1.课本51页习题12.3第3题（做在作业本上）