12.3角平分线的性质
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
下图中能表示点P到直线l的距离的是
线段PC的长
思考：
复习提问
2、点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！
探究1---想一想
证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
A
Ｂ
为什么OC是角平分线呢？

Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
1〉平分平角∠AOB

2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
角平分线上的点到角的两边的距离相等
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
说一说
用符号语言表示为：
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等。
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断：
练习
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
3、∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
4、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE (
)
PD⊥OA，PE⊥OB
角的平分线上的点

到角的两边的距离相等
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
证明：
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90º
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF【角平分线上的点到两边的距离相等】
又∵ 在Rt⊿BDE和Rt⊿CDF中
BD=CD
DE=DF
∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF（HL）
∴EB =FC
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
你会吗？
如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；  求证：CF=EB
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵ BM为△ABC的角平分线
∴PD=PE同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
你能得出什么结论？
结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
更上一层楼！
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

符号语言：
∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).

用尺规作角的平分线.
，
1 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
60
BF
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　。
角的平分线
6cm
练习